ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 883 



Dans la même région, les intégrales analytiques ne peuvent 

 présenter que des points singuliers isolés fixes ou des points sin- 

 guliers isolés mobiles sur les lignes singulières fixes. Une ligne 

 singulière mobile ne peut brusquement cesser d'être ligne singu- 

 lière pour une intégrale, sans être continuée par une autre ligne 

 singulière, qu'en passant par un point singulier isolé fixe. Le con- 

 tour du domaine à l'intérieur duquel une intégrale est analytique ne 

 peut présenter de points anguleux dirigés vers l'intérieur à moins 

 que ces points ne se trouvent sur les lignes singulières fixes ou 

 coïncident avec des points singuliers isolés fixes. 



La considération des lignes singulières fixes d'une équation linéaire 

 conduit naturellement l'auteur à se poser la question suivante : 

 L étant une ligne singulière fixe d'une équation linéaire F=o , peut- 

 il exister des intégrales de cette équation analytiques en tous les 

 points d'un domaine traversé par L ? 



La solution complète de cette question paraît extrêmement diffi- 

 cile ; mais M. Delassus en indique une transformation qui semble 

 devoir y apporter une simplification considérable. 



Dans la dernière partie de son travail, l'auteur indique, sur 

 divers exemples, des singularités d'une nature telle qu'elles ne 

 peuvent se rencontrer, en dehors des lignes singulières fixes, que 

 le long des caractéristiques; puis, recourant aux résultats obtenus 

 dans les premières parties , il arrive à une proposition très générale 

 qui lui permet de découvrir une infinité de singularités de cette 

 nature. 



En terminant, il montre comment la seule considération des 

 intégrales analytiques permet de séparer nettement les trois régions 

 que conduit à distinguer l'étude approfondie des équations linéaires : 



i** Dans la région ou toutes les caractéristiques sont réelles, les 

 intégrales analytiques ne peuvent avoir comme singularités mobiles 

 que des singularités caractéristiques; 



a'' Dans la région oh il n'y a que des caractéristiques imagi- 

 naires, les singularités mobiles sont toujours non caractéristiques 

 et se présentent le long de lignes absolument arbitraires ; 



3^ Dans la région où les caractéristiques réelles et imaginaires 

 sont mélangées, les singularités peuvent être non caractéristiques 

 le long de lignes arbitraires, mais peuvent aussi être caractéris- 

 tiques. 



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