884 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Sur les poiats singuliers d^une fonction donnée par son développe- 

 ment EN SÉRIE ET L^ IMPOSSIBILITE DU PROLONGEMENT ANALYTIQUE DANS 



DES CAS TRES gÉnÉraui, par M. Fabry. (Ann. de VÉcole normale, 

 3° série, t. XIII, 1896, p. 867-/100.) 



Si Ton développe suivant les puissances entières de z—a une 

 fonction analytique donnée de la variable complexe z, le cercle de 

 convergence passe en général par un seul point singulier, le plus 

 voisin du point (t. 



Si, au contraire, on se donne arbitrairement la série 2«nt", de 

 façon toutefois que le cercle de convergence ne soit ni nul ni infini , 

 la fonction représentée par cette série a au moins un point singu- 

 lier sur le cercle de convergence, mais en général elle en a plu- 

 sieurs , comme Ta montré M. Hadamard (Journal de mathématiques , 

 li' série, t.VIIÎ). 



M. Fabry généralise quelques-uns des résultats obtenus par 

 M. Hadamard ^ et il en déduit de nouvelles méthodes particulières 

 pour rechercher si un point du cercle de convergence est un point 

 singulier. 



Parmi les propositions auxquelles il arrive, il convient de si- 

 gnaler les deux suivantes : 



1° A Taide des coefficients de la série 



/W =^S + «l^ + • • • + «nî" + • • • ^ 



dont le cercle de convergence a pour rayon 1, on forme Fexpression 



rï / \ , m-\-i , , (m 4- 1) . . , (m 4- v) 



^ ^^-ITm"^- • •'^^'"-'f'm(m-i)...(m-i;+i)' 



où p est un nombre entier variant avec m de façon que ~ tende 

 vers 1, et y^Xm, o<:X<:f<ci. Si z=^i nest pas un point sin- 

 gulier de/(z), la limite supérieure, pour m = 00, de V^i?»î(OI ^^* 

 plus petite que 1 ; et si cette limite supérieure est 1 , le point 2=1 

 est singulier. 



Réciproquement si, t restant fixe, p varie de façon que m—p 

 prenne toutes les valeurs entières, par exemple si p est compris 



