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dont une infinité de coefficients sont arbitraires, et il serait à peu 

 près impossible de grouper ces coefficients de manière à former 

 des fonctions arbitraires ayant des relations simples avec les inté- 

 grales cbercbées. Or ce qui fait fintérêt du théorème de Gaucliy 

 sous la forme classique que lui a donnée M"*® Kowalevski, c'est que 

 ce théorème ne démontre pas seulement l'existence des intégrales, 

 mais indique en même temps des fonctions arbitraires en nombre 

 Il ni qui déterminent ces intégrales d'une manière à la fois simple 

 et complète. 



(Test à ce point de vue que M. Delassus se place pour reprendre 

 le problème général traité par M. Riquier. Le fondement de la so- 

 lution beaucoup plus simple qu'il en donne est le classement sys- 

 tématique des dérivées partielles d'un même ordre d'une fonction 

 de plusieurs variables, et l'emploi d'un changement de variables 

 dans les systèmes d'équations aux dérivées partielles. Jusqu'à pré- 

 sent, on s'e'tait peu servi de ce dernier procédé, qui semblait con- 

 damné à de fréquents insuccès. En effet, dans le cas oii le problème 

 avait été traité par M™^ Kowalevski, on supposait les équations ré- 

 solues par rapport à certaines dérivées bien déterminées. On a dès 

 lors été conduit à chercher si l'on ne pourrait pas toujours arriver 

 à ce résultat au moyen d'un changement de variables. Mais M. Bourlet 

 a montré, par un exemple simple, que cet artifice ne permettait 

 pas toujours d'éviter des cas exceptionnels. 



On en a légitimement conclu que la forme donnée aux équations 

 dans le théorème de M™^ Kowalevski était trop particulière; mais 

 on n'a pas cherché s'il existait des formes réduites un peu plus gé- 

 nérales auxquelles le changement de variables pourrait conduire 

 sans danger d'amener à des cas d'exception. Or, et c'est là le point 

 capital du travail de M. Delassus, de telles formes existent, et l'em- 

 ploi de ces formes dans la transformation du système permet de 

 retrouver un remarquable théorème de M. Tresse, qui a fait faire 

 un grand pas à la théorie en montrant que fétude d'une infinité 

 d'équations différentielles simultanées peut être ramenée à l'étude 

 d'un nombre fini de ces équations. 



Par une suite régulière d'opérations, le changement de variables 

 aboutit ou bien à mettre en évidence l'incompatibilité des équations 

 du système, ou bien à obtenir une forme canonique complètement 

 intégrable d'après le théorème de M. Tresse, dont voici l'énoncé 

 précis : fc Un système d'équations aux dérivées partielles étant défini 



