ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 889 



d'une façon quelconque, ce système est forcément limité, c'est-à- 

 dire qu'il existe un ordre fini s tel que toutes les équations d'ordre 

 supérieur à s que comprend le système se de'duisent par de simples 

 différentiations des équations d'ordre égal ou inférieur à s.r 



Cette forme canonique de M. Delassus, plus simple que celle de 

 M. Riquier et absolument générale, sert de base à tous les raison- 

 nements que l'auteur développe relativement à l'existence des in- 

 tégrales. Il ne cherche pas à démontrer directement la convergence 

 des séries, ce qui serait assurément possible, mais non sans de 

 très pénibles calculs. Il se sert de cette propriété remarquable de 

 sa forme canonique : l'intégration d'un système canonique de m va- 

 riables se ramène à l'intégration successive de m systèmes de M'"^ Ko- 

 walevski, contenant respectivement i, 9, . . ., m— i variables. 



C'est en partant de cette propriété et par l'application successive 

 du théorème de Cauchy que l'auteur parvient à un théorème ana- 

 logue à celui de Cauchy, qui s'applique à tous les systèmes com- 

 plètement intégrables, c'est-à-dire ayant des solutions, démontre 

 l'existence des intégrales analytiques et détermine les fonctions et 

 constantes initiales en nombre fini dont dépendent ces intégrales. 



Voici l'énoncé du théorème de M. Delassus, qui implique la no- 

 tion de certains nombres fondamentaux yj^, y^, . . ., y':^ dont la défi- 

 nition est trop compliquée pour trouver place ici, mais dont la 

 signification résulte clairement de cet énoncé même : 



cf Soit 2" un système canonique complètement intégrable d'équa- 

 tions aux dérivées partielles. Soient C les dérivées d'ordre inférieur 

 ou égal à n qui n'entrent pas dans les premiers membres, et 



7o'7n- • '.rL-i (i=i^ 2, .. ., q) 



les nombres fondamentaux de 2**. 



cf Donnons-nous arbitrairement les fonctions de a?^ , .o?.^ , . . . , Xn , 

 analytiques en a^J, x^, . . ., x^^, auxquelles se réduisent les fonc- 

 tions Zi pour lesquelles on a yl=^i; 



cr Puis les fonctions de ^2 , ^3 , . . . , ^m , analytiques en d?^ , . . . , x^^ , 

 auxquelles se réduisent 



^ ^^'"'^ 



pour x^^^x\\ 



