ANALYSES ET ANNONCES. - MATHÉMATIQUES. 1093 



de la rf colonne, et après les avoir affectés alternativement des 

 signes -\- Qi — , on les désigne par S^^S^^, . . . , <5'„; on prend enfin 

 les déterminants qui dérivent du second rectangle et, après avoir 

 alterné leurs signes, on les désigne par A^, A2, . . . , A„. 

 Gela étant, si Ton a 





X, X, 





on a aussi 











_ _ A» 



et réciproquement. 







Le principe de dualité et certaines intégrales multiples de l es- 

 pace TANGENTIEL ET DE l' ESPACE RÉGLÉ , par M. CaRTAN. [BuU. de la 



Soc. mathématique, t. XXIV, 1896, p. 1^0-177.) 



Certaines intégrales multiples relatives à des ensembles de points 

 ne changent pas de valeur lorsqu'on fait subir aux points un même 

 déplacement : telles sont l'aire d'une portion du plan, le volume 

 d'une portion de l'espace. 



N'y a-t-il pas, en vertu du principe de dualité, des intégrales 

 multiples étendues à des ensembles de droites dans le plan ou à 

 des ensembles de plans dans l'espace qui jouiraient d'une propriété 

 analogue, c'est-à-dire qui resteraient invariables lorsqu'on imprime 

 un même de'placement à toutes ces droites ou à tous ces plans ? 



La question, comme le montre M. Cartan, doit être résolue par 

 l'affirmative. Il existe dans le plan, regardé comme engendré par 

 des droites 



■ ux-{-vy -\-w^=_o,, : f 



une intégrale double invariante 



hidvdw -{-vdwdu-{-wdudv ,. ; 



IP 



(m^-j- y^)2 



exprimant une propriété métrique d'un ensemble quelconque de 

 droites dépendant de deux paramètres, pourvu que parmi les droites 

 de cet ensemble ne figure pas la droite de l'infini. Étendue à toutes 

 les droites qui rencontrent uii segment rectiligne donné, cette in- 



