109/i REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



tégrale exprime le double de la longueur de ce segment; étendue 

 à toutes les droites qui coupent une courbe fermée connexe, elle 

 est égale au périmètre de cette courbe. 



Il y a encore dans le pian une autre intégrale simple étendue à 

 des droites dépendant d\in seul paramètre : elle exprime simple- 

 ment Fangle de deux droites limites. 



Dans l'espace tangentiel, c'est-à-dire considéré comme engendré 

 par des plans, il existe de même deux intégrales : Tune, double, 

 étendue à des ensembles de plans dépendant de deux paramètres, 

 exprime Taire découpée sur une sphère de rayon égal à Tunité par 

 les normales aux planes menées par le centre de cette sphère; la 

 deuxième est une intégrale triple, embrassant des ensembles de 

 plans quelconques, pourvu que le plan de Tinfini ne soit pas Tun 

 d'eux. Étendue à l'ensemble des plans qui coupent un arc de courbe, 

 cette intégrale triple 



y'dt A(m dv dw dh -{-vdwdu dli -j- ^ du dv dit — h du dv dw) 



[oii (^(m, V, w, ^)= G est l'équation en coordonnées homogènes d'une 

 quadrique (quadrique fondamentale) et A le discriminant de la 

 forme (p] est égale au produit de tt par la longueur de cet arc de 

 courbe. Mais ce qui fait surtout l'intérêt de cette inte'grale, c'est 

 que, si on l'étend à l'ensemble des plans qui coupent une surface 

 fermée convexe, on a une nouvelle quantité qu'on peut appeler le 

 périmètre de cette surface, de la même dimension qu'une longueur 

 (le périmètre ainsi défini d'une sphère est égal au quadruple de son 

 diamètre). Le périmètre d'une surface fermée peut donc être con- 

 sidéré comme le dualistique du volume situé à l'intérieur de cette 

 surface. 



Enfin, on peut aussi regarder l'espace comme engendré par des 

 droites, ce qui le rend son propre dualistique, et il existe aussi 

 dans l'espace réglé des intégrales multiples métriques. Une de ces 

 intégrales est une intégrale quadruple et par suite s'étend à des 

 ensembles de droites quelconques; étendue à l'ensemble des droites 

 qui coupent une portion de surface, elle est égale au produit de tt 

 par l'aire de cette portion de surface; étendue à l'ensemble des 

 droites qui coupent une surface fermée convexe, elle est égale au 



produit de - par l'aire de cette surface. 



