ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1095 



Il existe deux autres intégrales de Tespace réglé, et elles sont 

 doubles, par suite s'étendent à des ensembles de droites d'une 

 congruence; Tune d'elles représente l'aire découpée, sur une sphère 

 de rayon égal à l'unité, par les parallèles à ces droites menées par 

 le centre de la sphère. Quant à l'autre, elle jouit de la propriété de 

 se reproduire divisée par n lorsque les droites de la congruence se 

 réfractent à travers une surface dans un milieu d'indice n; de plus 

 la condition nécessaire et suffisante pour que les droites d'une con- 

 gruence soient normales à une même surface est que l'intégrale re- 

 lative à tout pinceau de la congruence soit nulle, d'où résulte que 

 par réfraction la congruence des droites normales à une surface se 

 change en une congruence jouissant de la même propriété, ce qui 

 est un théorème bien connu. 



DÉMONSTRATION DU THEOREME DE M. VaSCHY SUR UNE DISTRIBUTION QUEL- 

 CONQUE DE VECTEUR, par M. Larose. (Bull, de la Soc. mathématique, 

 t. XKIV, 1896, p. 177-180.) 



Soit h un vecteur défini en chaque point d'un champ U limité 

 par une surface S; si (p est une fonction de h, telle que l'intégrale 

 ff(p(v)da-, prise sur une sphère infiniment petite 2, soit égale à 

 la valeur moyenne de h sur la sphère, on aura : 



U^k + ff^(p{v)da + fff,mdv -= o, 



V étant l'unité de normale intérieure et y l'opérateur de Hamilton. 



Cette relation, que M. Larose déduit d'une formule de M. Gar- 

 vallo, est analogue dans l'espace à l'identité de Cauchy dans le plan 

 pour le calcul des résidus. 



L'auteur en conclut une démonstration nouvelle de ce théorème 

 de M. Vaschy : wLe champ d'un vecteur quelconque h peut être 

 considéré comme produit par la superposition d'un champ de 

 masses newtoniennes et d'un champ de masses laplaciennes répar- 

 ties dans le volume U et sur la surface limite S du champ. 77 



