1100 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Reprenant la question, M. Hadamard, en n'invoquant que les 

 propriétés les plus simples de <^{s), fait voir que cette fonction n'a 

 pas de zéros sur la droite Sl(s) = i [^{s) désignant la partie réelle 

 de s]. Il étend cette proposition aux séries introduites en arithmé- 

 tique par Dirichlet et qui appartiennent à la catégorie des séries 



de la forme 2-7 périodiques, c'est-à-dire dont les coefficients a„ se 



reproduisent de k en k. 



Bien que ce résultat soit très éloigné de la précision de celui 

 qu'ont annoncé Riemann et Stielijes, il suffit néanmoins pour dé- 

 montrer les principales conséquences arithmétiques qu'on a jus- 

 qu'ici essayé de tirer des propriétés de Ç(s). 



Ainsi on peut en conclure la démonstration rigoureuse de ce 

 théorème énoncé par Halphen : crLa somme des logarithmes des 

 nombres premiers inférieurs à x est asymptotique à .r.w Ce théo- 

 rème n'est d'ailleurs, comme le montre M. Hadamard, qu'un cas 



particulier du suivant : fcLa somme— --2 loff »lo2^~^ -, étendue 

 ^ r(f.) p ^^ ^ V 



aux nombres premiers inférieurs à a;, et dans laquelle yi désigne 



un nombre positif quelconque, est asymptotique h x.r) 



En utilisant la propriété des séries de Dirichlet, M. Hadamard 

 établit d'autres propositions analogues sur la somme des logarithmes 

 des nombres premiers inférieurs à a? et compris dans une progres- 

 sion arithmétique déterminée. 



n signale en terminant la possibilité d'appliquer sa méthode 

 aux séries de Weber et de Meyer, par lesquelles on étend le théo- 

 rème de Dirichlet sur la progression arithmétique aux formes qua- 

 dratiques ; ces séries ne s'annulent pas sur la droite ^(s) = i. 



Démonstration de l existence le l intégrale d'une équation aux 

 DÉRIVÉES partielles LIN é AIRE , par M. Bendixson. [Bull, de la Soc, 

 mathématique, t. XXIV, 1896, p. 22 0-225.) 



SvB L Étude d'une courbe algébrique autour d'un de ses points, par 

 M. Vessiot. [Bulletin des sciences mathématiques, 2® série, t. XX, 

 1896, p. 29-31.) 



Indication et application d'une méthode propre à résoudre ce 



