ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1111 



ils se prêtent mai au calcul numérique, et à ce point de vue comme 

 à d'autres ils peuvent être remplacés par des séries à simple entrée 

 beaucoup plus rapidement convergentes. C'est à la construction et 

 à Tétude de ces dernières séries qu'est consacré le chapitre IV. 

 MM. Appell et Lacour, se conformant à l'ordre historique du déve- 

 loppement de la science, se servent uniquement dans ce chapitre 

 du système de notations de Jacobi. Il faut d'ailleurs bien se pénétrer 

 de cette idée que l'un des systèmes ne doit pas être préféré exclu- 

 sivement à l'autre; car, suivant les cas, les applications sont plus 

 aisées dans l'un que dans l'autre. 



Les déductions sur lesquelles Jacobi a fondé la théorie des fonc- 

 tions elliptiques sont exposées par les auteurs avec toute la simpli- 

 cité et toute la clarté désirables. La fonction Z(m), précédemment 

 définie par une série double, est construite d'une autre manière, à 

 l'aide d'une série simple de cotangentes ayant les mêmes pôles et 

 les mêmes résidus que Z. Quant à la fonction H, elle a été définie 

 comme celle dont la dérivée logarithmique est Z : l'expression simple 

 qu'on vient de trouver pour Z donne par intégration un produit 

 très convergent servant à exprimer H; et ce produit lui-même se 

 change aisément en une série trigonométrique très rapidement con- 

 vergente. On est alors en possession de tous les éléments néces- 

 saires pour définir et pour calculer les quatre fonctions H, Hj,0,0j 

 de Jacobi, pour déterminer leurs zéros, pour prévoir l'effet de 

 l'addition d'une période, d'une demi-période, d'un nombre entier 

 de périodes à leur argument, pour développer H^, O, 0^ en pro- 

 duits infinis simples; les auteurs n'ont pas manqué de rapprocher 

 ici les diverses notations usitées pour les fonctions de Jacobi et dont 

 la multiplicité est pour le géomètre une source d'embarras et de 

 confusion : fonctions 3- de Weierstrass et d'Halphen, fonctions B de 

 Briot et Bouquet. 



Avec les quatre fonctions entières H, O, Hj, 0^ de Jacobi 

 peuvent être, comme on sait, formées immédiatement par voie de 

 division les trois fonctions elliptiques snw, cnw, dnw qui serviront à 

 construire toutes les autres. La seconde partie du chapitre IV est 

 consacrée à l'étude de ces fonctions, à la détermination de leurs 

 périodes, de leurs zéros, de leurs pôles, de leur module, à l'éta- 

 blissement de la formule d'addition qui les caractérise et dont les 

 auteurs font dériver toutes les autres formules relatives à ces fonc- 

 tions, à la formation de leurs dérivées, à leurs développements en 



