ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 1117 



l'équation de Lamé qui fait ici Tobjet d'une étude succincte, mais 

 substantielle. 



Chapitre XII. — Les fonctions doublement périodiques de seconde 

 espèce appelaient naturellement celles de troisième espèce, c'est- 

 à-dire les fonctions uniformes n'admettant d'autres singularités que 

 des pôles à distance finie et vérifiant deux équations d« la forme 



<p{x+^co)^e'^ + ^(p(x), (p{x-\-^co') = e''''' + ^' (p{x), 



a,b,a\b' désignant des constantes. Dans le chapitre XII, les auteurs 

 exposent la théorie de ces fonctions, dont ils indiquent en parti- 

 culier la décomposition en éléments simples, en faisant usage de 

 l'élément introduit par M. Appell. 



Chapitre XIIL — Après quelques indications sur les réseaux de 

 parallélogrammes formés avec des périodes équivalentes, réseaux 

 qui ont les mêmes sommets; après avoir montré l'importance de 

 cette notion en faisant voir que les trois fonctions o-, Ç, p de 

 Weierstrass ne changent pas quand on remplace la paire de pé- 

 riodes primitives qui a servi à les construire, par toute autre paire 

 de périodes équivalentes, MM. Appell et Lacour introduisent une 

 fonction dont l'importance est capitale, car elle est la plus simple 

 des fonctions modulaires; c'est Vinvariaut abs&ki de M. Klein 



J=: 



^Igl 



qui ne dépend qoe du rapport t àes pfériod^, et dont la propriété 

 fondamenJtaie mi de rester invariable quand on y remplace t par ie 



rapport — ^-j, le déterminant ad — hc de la substitution étant 



égal à zh 1 . Ici se placent d'importantes remarques sur les substi- 

 tutions linéaires, sur les groupes de substitutions, en particulier 

 sur le groupe modulaire, sur l'interprétation géométrique de ce 

 dernier groupe, consistant dans la division du demi-plan en cases 

 homologues, où la fonction J(t) reprend les mêmes valeurs, si bien 

 qu'il suffit de la connaître dans la case fondamentale, pour la con- 

 naître dans toute la région où elle existe, c'est-à-dire dans tout le 

 demi-plan situé au-dessus de l'axe des quantités réelles. 



