ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1119 



qui contient linéairement les dérivées secondes r, s, t de z par rap- 

 port h X et h. y. Mais les surfaces du complexe sont-elles les seules 

 intégrales de cette équation? C'est une question à laquelle on peut 

 répondre en remarquant que Téquation (i) exprime la propriété 

 suivante des surfaces intégrales : par tout point de Tune de ces sur- 

 faces passe une courbe du complexe qui lui est osculatrice. En tra- 

 duisant analytiquement cette propriété, on trouve un cas excep- 

 tionnel oii les surfaces intégrales ne sont pas engendrées par les 

 courbes du complexe : ces surfaces sont alors fournies par une équa- 

 tion du premier ordre qui est une intégrale singulière de Téquation 

 du second, et qui, dans bien des cas, donne la véritable solution du 

 problème. On doit remarquer que toute équation de la forme (i), 

 où L, M, N sont des fonctions quelconques de x^ ij^ z, p, q n'est 

 pas susceptible d'être intégrée de cette façon : L, M, N doivent sa- 

 tisfaire à certaines conditions qui ne sont établies qu'au cbapitre 

 suivant. 



On parvient à un autre type d'équation en considérant un com- 

 plexe de surfaces (S). Si l'on établit entre les trois paramètres a, 

 b, c deux relations arbitraires, les surfaces (S), ne dépendant plus 

 que d'un seul paramètre, auront une enveloppe. Toutes ces surfaces 

 enveloppes, qui dépendent de deux fonctions arbitraires, sont des 

 intégrales d'une même équation aux dérivées partielles du second 

 ordre : 



(9) Hr-f-2Ks-f-Lf-l-M-l-N(^f-*'^) = o, 



linéaire en r, s, f, [rt—s'^). On peut encore trouver toutes les inté- 

 grales de cette équation : toutes celles qui ne sont pas comprises 

 parmi les surfaces enveloppes définies précédemment sont les inté- 

 grales d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre ex- 

 primant que deux des surfaces du complexe, qui admettent l'élé- 

 ment (.r, y,z^ p, q), sont confondues : cette équation du premier 

 ordre constitue une intégrale singulière de l'équation (2). 



Les équations (2) qu'on vient d'étudier ne forment qu'une caté- 

 gorie tout à fait particulière parmi les équations linéaires en r, s, 

 t, rt — s^. On a pu reconnaître directement qu'il existe un système 

 de formules représentant toutes les intégrales de pareilles équations; 

 mais c'est là un fait exceptionnel. Dès lors que faut-il entendre par 

 intégrale générale d'une équation du second ordre donnée a priori? 

 Adoptant la définition que M. Darboux a déduite des travaux de 



Revue des trav. scient. — T. XVII, n' 11. 75 



