1120 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Cauchy, M. Goursatdit qu une intégrale est générale si l'on peut disposer 

 des arbitraires qui y figurent de manière à attribuer a la fonction inconnue 

 et à Vune de ses dérivées 'premières une succession continue de valeurs don- 

 nées en tous les points d^une courbe; en langage géométrique, ceci re- 

 vient à se donner une courbe par laquelle on veut faire passer la 

 surface cherchée, et le plan tangent à cette surface tout le long de 

 cette courbe. Un théorème célèbre de Cauchy nous assure de l'exis- 

 tence de rinlégrale générale d'une équation du second ordre 



F{x, y, z, p, q, r, s, t)=o, » 



à moins que la courbe donnée ne soit telle que l'on ait tout le long 

 de cette courbe : 



11 peut arriver que l'intégrale générale ne représente pas toutes les 

 intégrales z-=^{x^ y) de l'équation F = o; c'est ce qui aura lieu 



si ^(x, y) satisfait en même temps aux trois équations — = o, 

 ^ = o , — = o , puisqu'alors se trouve réalisée , pour toute courbe 



tracée sur cette intégrale singulière , la condition qui met en défaut 

 le théorème de Cauchy. 



Les résultats obtenus dans ce chapitre semblent devoir donner 

 grande confiance dans la méthode de la variation des constantes 

 arbitraires pour la recherche des intégrales des équations du second 

 ordre. On pourrait espérer qu'ici, comme pour les équations du 

 premier ordre, la connaissance d'une intégrale complète conduirait 

 à l'intégrale générale. Il n'en est malheureusement rien. Toute 

 fonction de deux variables, qui dépend de moins de cinq para- 

 mètres, satisfait à une infinité d'équations du second ordre; par 

 conséquent, une intégrale complète d'une équation du second ordre 

 doit renfermer cinq paramètres. Si partant d'une telle intégrale, 



(^{x,y,z,a^,a.^,a^,a^,a^)^o, 



on la différenlie cinq fois par rapport à ^ et à ^, et qu'on élimine 

 les cinq constantes arbitraires a^, a.^^ «3, a^, a^ entre les six équa- 

 tions ainsi obtenues, on arrive en général à une relation unique 

 entre .2;, y^ p^ q^ r, s, ï. C'est une équation du second ordre qui 



