ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1121 



admet bien la fonction <I> pour intégrale complète. Mais, pour en 

 déduire toutes ies autres intégrales, il faudrait pouvoir entre les 

 cinq paramètres «j, «^^ %? ^^41 S établir des relations telles que 

 Tenveioppe de la famille de surfaces ainsi obtenue eût en chaque 

 point un contact du second ordre avec la surface enveloppée. Or, en 

 exprimant cette condition, on est conduit à trois équations simul- 

 tanées du second ordre pour déterminer «3 , a^ , a^ en fonction de 

 a^ et «2 -, c'est-à-dire à un problème plus compliqué en général que 

 la question à résoudre. 



Pour ne pas rompre les grandes lignes de l'exposition, nous 

 n'avons pas parlé des intéressantes indications sur les multiplicités 

 d'éléments qui sont ça et là semées dans ce chapitre et qui simpli- 

 fient singulièrement les théories qui y sont présentées. Il nous faut 

 signaler à ce sujet l'importante propriété que Sophus Lie a mise 

 en lumière et dont M. Goursat fait dans son livre un usage conti- 

 nuel : Etant données dans V espace d^ux familles de multiplicités , composées 

 chacune de trois paramètres, on peut toujours trouver une transformation 

 de contact qui change une de ces familles en la seconde. Parmi les nom- 

 breuses applications de cette propriété, on peut citer la réduction 

 des équations du second ordre étudiées dans ce chapitre à des 

 formes canoniques simples, notamment à celle qui caractérise les 

 surfaces développables s'^ — rt = o, moyennant des transformations 

 de contact appropriées. 



Chapitre IL ^- C'est le plus important de l'ouvrage : il est con- 

 sacré à l'intégration des équations linéaires en r, s, t, rt — s^, qui, 

 avec les notations d'Ampère, s'écrivent : 



(9) F = Hr+2K5-4-Lt+M + N(r^-52) = o, 



H, K, L, M, N étant des fonctions quelconques àe x, y^, z, p^ q. 

 C'est en essayant d'appliquer le théorème de Cauchy à une pa- 

 reille équation qu'on est mis sur la voie d'une notion d'importance 

 capitale, celle des caractéristiques. Si l'on se propose en effet de dé- 

 terminer une surface intégrale passant par une courbe donnée (C) 

 et tangente tout le long de (C) à une développable donnée (D), 

 X, tj, z, p, ^seront en tout point de (C) des fonctions d'un même 

 paramètre , et pour déterminer les valeurs de r, s, tle long de la 

 courbe, on aura, conjointement avec l'équation (9), les relations : 



dp = rdx -\- sdy^ dq^^=sdx-\-tdy, 



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