1122 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



En général, on tirera de ces trois relations un système unique de 

 valeurs pour ?% 5, t; mais la courbe (G) et la développable (D) peuvent 

 êlre telles que ces trois équations se réduisent à deux, de sorte que 

 Tune des trois dérivées secondes peut être prise arbitrairement. La 

 multiplicité formée par l'ensemble de la courbe et de la développable 

 est alors une multiplicité caractéristique de Téquation. Le tbéorème de 

 Cauchy tombe en défaut : il y a, dans ce cas, non pas une seule 

 surface, mais une infinité de surfaces intégrales tangentes à (D) le 

 long de (G). Le rôle capital que jouent les caractéristiques dans la 

 théorie des équations (2) de Monge et d'Ampère tient à la propriété 

 suivante : Etant donnée une surface intégrale de F équation (â), par tout 

 point de cette surface passent deux caractéristiques situées tout entières sur 

 cette surface; inversement, toute surface qui est un lieu de caractéristiques 

 est une intégrale de Inéquation (3). Une élégante méthode géométrique , 

 fondée sur les propriétés les plus simples des quadriques, fournit 

 immédiatement les équations des deux systèmes de caractéristiques : 



dz — pdx — qdy = o l dz — pdx — qdy = o 



^dp -\- Ldx -\- \d\j = l^dp-\- Ldx -\- X^dy = o 



( ^dq -\ \dx -\- Udy = o [ N^^ -\- X^dx -{- Hdy = o 



où Aj et A2 sont les racines de l'équation du second degré : 



X2 4-9KX+HL-MN = o. 



Ges formules doivent d'ailleurs être modifiées quand le coefficient N 

 est nul. On va voir l'importance des caractéristiques pour l'inté- 

 gration des équations de Monge et d'Ampère. Une remarque fonda- 

 mentale prépare les voies à la solution du problème : Quand on 

 applique à une équation de cette espèce une transformation de contact arbi- 

 traire, on est conduit à une nouvelle équation de même forme , et la trans- 

 formation change les caractéristiques en nouvelles caractéristiques. 



La méthode d'intégration de Monge consiste essentiellement à 

 rechercher s'il existe des combinaisons intégrables : 



( ^V = X{dz — pdx — qdy) -f- [À(^dp + Ldx + X^dy) 

 ( -^-v{Mq-\-X^dx-[-Edy) 



des équations qui définissent un des systèmes de caractéristiques. 



