ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 1123 



Toutes les intégrales de l'équation du premier ordre V = const. 

 satisfont à re'quation proposée (2). 



Si Tun des systèmes de caractéristiques admet deux combinaisons 

 intégrables u et v, l'intégration de l'équation proposée est ramenée 

 à celle d'une équation du premier ordre avec une fonction arbi- 

 traire : 



u — (p[v) = . 



Lorsqu'une équation du second ordre possède une intégrale in- 

 termédiaire du premier ordre, w— (p(v) = o, on ne pourra pas, en 

 général, achever l'intégration, tant qu'on n'aura pas particularisé la 

 fonction (p. Mais il arrive fort heureusement que la solution du 

 problème de Gauchy, qui consiste à faire passer la surface intégrale, 

 cherchée par une courbe (C) tangentiellement à une dévelop- 

 pable (D), peut toujours être ramenée à l'intégration d'une équa- 

 tion déterminée du premier ordre; car en tout point de (C), w et v 

 se trouvent être des fonctions connues F(^) et Fj(^) d'un seul para- 

 mètre 9, et la condition F(^) = (p[F^(^)] détermine la fonction arbi- 

 traire (p. 



Si l'un des systèmes admet trois combinaisons intégrables m, 

 V, w, les deux systèmes de caractéristiques sont confondus, et l'on 

 peut obtenir Tinti'grale générale par de simples éliminations : il 

 suffit d'éliminer p et q entre les trois équations w=a, u^b^ v=c, 

 et l'on obtient l'équation d'une famille de surfaces dépendant de 

 trois paramètres «, è, c. On a l'intégrale générale en établissant 

 entre ces trois paramètres deux relations de forme arbitraire et en 

 prenant l'enveloppe des surfaces ainsi obtenues. On retrouve ainsi 

 ies équations considérées au premier chapitre, dont l'intégrale gé- 

 nérale est formée par les surfaces enveloppes des surfaces d'un 

 complexe, et les hypothèses spéciales qui les font retrouver ici 

 montrent à quel point est particulier le groupe d'équations linéaires 

 en r, s, t, rt — s^ auxquelles cette solution correspond. 



Lorsque l'élimination de j» et de q entre les trois équations w=a, 

 u=b^ v=c conduit à deux relations distinctes : 



<D(x, î/, z, fl, b, c)= o, Oi(^, î/, z, a, 6, c) = 0; 



ces deux équations représentent un complexe de courbes, et l'inté- 

 grale générale se compose de surfaces engendrées par les courbes 



