\\U REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



de ce complexe, associées suivant une loi arbitraire. On retrouve 

 encore une classe d'équations étudiée au début de l'ouvrage. 



Quand les deux systèmes de caractéristiques sont confondus, 

 Téquation du second ordre ne peut admettre deux intégrales inter- 

 médiaires distinctes sans en admettre trois. Il ne reste donc à exa- 

 miner que le cas oii le système unique de caractéristiques admet 

 une seule combinaison intégrales. L'équation u(x, y, z,p^ ^)=const. 

 donnera bien une intégrale dépendant d'une fonction arbitraire, 

 mais non pas l'intégrale générale de l'équation proposée, et la mé- 

 thode de Monge n'atteint pas son but. Mais Ampère a démontré, 

 par des calculs assez pénibles, que la théorie des transformations 

 de contact permet de simplifier grandement, qu'on peut alors ra- 

 mener l'équation à une autre, ne contenant que r comme dérivée 

 du second ordre. 



D'importantes propositions facilitent l'intégration des équations 

 de Monge et d'Ampère dans le cas général où les deux systèmes de 

 caractéristiques sont distincts. 



D'abord, pour qu'une équation de la forme (9) puisse être ra- 

 menée par une transformation de contact à la forme 



s—X{x, y, z,p, q)==o, 



il faut et il suffit que les deux systèmes de caractéristiques soient 

 distincts et que les équations de chacun d'eux admettent une com- 

 binaison intégrable. 



D'autre part, et ce résultat est dû à MM. S. Lie et Darboux, 

 toutes les équations du second ordre qui admettent deux intégrales 

 intermédiaires du premier ordre, contenant chacune une fonction 

 arbitraire et appartenant à des caractéristiques différentes , peuvent 

 se ramener par une transformation de contact à l'équation 5=^0. 



La première de ces propositions permet de résoudre complètement 

 le problème dans le cas où chacun des systèmes distincts de carac- 

 téristiques admet le nombre maximum de combinaisons intégrables, 

 c'est-à-dire deux : alors l'intégration de l'équation du second ordre 

 se ramène à des quadratures. 



Si l'un des systèmes de caractéristiques admet deux combinaisons 

 intégrables, tandis que le second n'en admet qu'une, l'intégration 

 se ramène à celle d'une équation différentielle ordinaire, linéaire et 

 du premier ordre. 



