ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1125 



Lorsqu'un seul système admet deux combinaisons intégrables u 

 et V, l'autre n'en admettant point, l'équation du second ordre pos- 

 sède l'intégrale intermédiaire u = Ç)(v); mais, au contraire de ce 

 qui a lieu dans le cas précédent, tant qu'on ne particulisera pas la 

 fonction (p, il sera en général impossible d'achever l'intégration. 



Lorsque les équations différentielles des caractéristiques n'ad- 

 mettent aucune combinaison intégrable , la méthode de Monge tombe 

 en défaut; mais Imschenetsky a remarqué que, quand on connaît 

 une intégrale d'une équation du second ordre renfermant trois 

 constantes arbitraires, on peut par une transformation de contact 

 en déduire une autre ne renfermant pas de terme en rt — s^. 



La méthode d'Ampère est, à certains égards, plus générale que 

 celle de Monge; elle se rattache aussi à la théorie des caractéris- 

 tiques. Elle consiste à rapporter une surface intégrale à un système 

 de coordonnées curvilignes (a, /2), les courbes /S ^const. étant pré- 

 cisément les caractéristiques du premier système de cette surface 

 et les courbes a=^const. celles du second (quand ces deux systèmes 

 sont distincts). Si l'un des systèmes admet une combinaison inté- 

 grable u{x, y, z, p^ q) = j3^ il est avantageux de prendre (3 pour 

 paramètre correspondant de ce système de caractéristiques. Cette 

 méthode conduit aux mêmes calculs que celle de Monge dans les 

 cas qui donnent prise à cette dernière; mais elle s'applique aussi 

 à des équations auxquelles la méthode de Monge est inapplicable. 

 Ampère en a donné un exemple éclatant à propos de l'équation 

 aux dérivées partielles des surfaces minima : 



{i+qy— ^pqs +-{!-{- p^)t = o, 



où il a réussi à exprimer les coordonnées cartésiennes d'un point 

 par des formules débarrassées de tout signe d'intégration. 



Une autre preuve de la fécondité de la méthode d'Ampère a été 

 donnée par Sophus Lie qui s'en est servi pour intégrer une équa- 

 tion plus générale que celle des surfaces minima : 



Hr4-3Ks + L£ = o, 



où H , K , L sont des fonctions de jt? et ^ seulement. 



Pour clore ce chapitre, M. Goursat montre comment on peut 

 résoudre le problème de Cauchy d'abord pour l'équation de Sophus 

 Lie, ensuite pour celle des surfaces minima : la solution, dans ce 

 dernier cas, est fournie par les formules bien connues de M. Schwarz. 



