ANALYSES ET ANNONCES. — MATHElVIATIQUES. 1127 



téristique de Téquation (3) tout système simplement infini d'éléments 

 du second ordre (x^ ij, z, p, q, r, s, t) satisfaisant aux relations (4). 



La solution la plus générale du système de ces sept équations, 

 qui d'ailleurs se réduisent à six distinctes, dépend d'une fonction 

 arbitraire; car si Ton regarde x par exemple comme la variable in- 

 dépendante, on peut prendre pour une autre des variables une 

 fonction arbitraire de x et les cinq variables restantes sont déter- 

 minées en fonction de x par un système de cinq équations. 



Si Ton applique ces généralités aux équations de iMonge et d'Am- 

 père, on reconnaît que les trois premières équations (/i) peuvent 

 être remplacées par trois autres, qui ne renferment que les éléments 

 du premier ordre x^ y^ z^ p, q et leurs différentielles : ce sont les 

 trois équations des caractéristiques du premier ordre, identiques comme 

 on peut s'en assurer aux multiplicités caractéristiques définies dans 

 le chapitre II. Ainsi, pour les équations de Monge et d'Ampère, 

 toute multiplicité caractéristique du second ordre renferme une 

 multiplicité du premier, et inversement toute caractéristique du 

 premier ordre appartient en générai à une infinité de caractéris- 

 tiques du second ordre dépendant d'une constante arbitraire. 



Voici maintenant comment les caractéristiques interviennent 

 dans le problème de l'intégration. Ici un retour au problème de 

 Cauchy était tout indiqué. Etant donnée une caractéristique du 

 second ordre, existe-t-il des surfaces intégrales admettant tous les 

 éléments de cette caractéristique? M. Goursat a complètement et 

 rigoureusement résolu la question : il a montré que tous les élé- 

 ments d'une caractéristique du second ordre, pour laquelle 



n'est pas nul, appartiennent à une infinité de surfaces intégrales 

 dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. D'ailleurs deux 

 caractéristiques du second ordre, appartenant à deux systèmes dif- 

 férents et ayant un élément commun du second ordre , déterminent 

 une surface intégrale et une seule. Ces résultats se particularisent 

 dans le cas des équations de Monge et d'Ampère : les énoncés pré- 

 cédents s'y appliquent avec substitution des mots ff premier ordres 

 aux mots ce second ordre ?^. Ces équations jouissent, comme on voit, 

 d'une propriété particulière : pour elles il existe des multiplicités M^ 

 d'éléments du premier ordre qui appartiennent à une infinité de 



