1128 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



surfaces intégrales, la valeur d'une dérivée du second ordre pou- 

 vant être choisie arbitrairement en un point de M^. Cette propriété 

 appartient à d'autres équations du second ordre , et ce n est pas un 

 des moindres mérites de la théorie des caractéristiques que de 

 rendre possible une classification de ces équations. Cette théorie 

 conduit en effet à distinguer les équations du second ordre en quatre 

 grandes classes ; 



1° Les équations générales qui admettent deux systèmes diffé- 

 rents de caractéristiques, tous les deux du second ordre; 



2° Les équations qui, lorsqu'on y regarde x^ y^ z, p^ q comme 

 des paramètres, r, s, t comme des coordonnées courantes, repré- 

 sentent une surface réglée (de degré supérieur à 2) dont les géné- 

 ratrices sont parallèles à celles du cône (T) dont l'équation est 

 rt — 5^ = 0, sans que le plan tangent à cette surface soit parallèle 

 à un plan tangent au cône (T). Elles admettent encore deux sys- 

 tèmes différents de caractéristiques, un du premier, un du second 

 ordre ; 



3° Les équations de Monge et d'Ampère. Il y a deux systèmes 

 de caractéristiques, en général distincts, tous les deux du premier 

 ordre ; 



li° Les équations qui représentent une développable admettant 

 le cône (T) pour cône directeur. Elles n'ont qu'un seul système de 

 caractéristiques, qui est du premier ordre. 



Ces distinctions n'ont rien de superficiel , car elles se conservent 

 par toute transformation de contact. Leur importance se manifeste 

 dans la recherche des intégrales intermédiaires. Une équation du se- 

 cond ordre, prise au hasard, n'admet pas d'intégrale intermédiaire, 

 c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'équation du premier ordre dont toutes 

 les intégrales appartiennent à la proposée ; il faut, pour qu'il en 

 soit ainsi , que l'équation du second ordre admette des caractéris- 

 tiques du premier ordre. Si l'équation possède une intégrale inter- 

 médiaire dépendant de deux paramètres, c'est qu'elle représente 

 (quand on y traite r, 5, t comme des coordonnées courantes) une 

 surface réglée dont les génératrices sont parallèles à celles du 

 cône (T). 



Un intérêt particulier s'attache à la recherche de toutes les équa- 

 tions du second ordre telles que les deux équations simultanées 

 auxquelles doit satisfaire une intégrale intermédiaire formant un 

 système en involution; dans ce cas, le problème de l'intégration se 



