ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 53 



Soit 

 (i) F (^.2/'!/'' 2/") = ^ 



une équation du second ordre , la courbe F étant algébrique et du 

 genre p eny, y\ y". Si l'intégrale ne prend que n valeurs autour 

 des points critiques mobiles, cette intégrale est une fonction à 

 n déterminations , algébrique ou transcendante , des valeurs y^ , y'^ 

 de 2/, 1/' pour x = Xq. M. Painlevé étudie exclusivement îê cas oh y 

 est une fonction algébrique des constantes i/q, y'^. 

 L'intégrale peut alors s'écrire 

 i/'^ + R„_,(a,/3,7,5)î/"-^ + ...+Ro(a,^,y,i) = o; 

 les Rj sont des fonctions rationnelles de trois constantes a, (3^ y 

 liées par une relation algébrique 



(p(a,/S,7) = o. 



Soit -cr le genre de la surface <p = o , et soit P un des p poly- 

 nômes adjoints à F = o. M. Painlevé démontre que l'équation au 

 dernier multiplicateur de (i) doit admettre -zet solutions, linéaire- 



P 

 ment distinctes, de la forme ^- Il avait déjà établi une proposition 



analogue pour les équations du premier ordre. 



Réciproquement, quand il existe q multiplicateurs {q^ i) tels 



que =;7, ^, . . . , deux cas peuvent se présenter : 



1° Si les intégrales premières p7 = A ne se confondent pas toutes 



entre elles, l'équation du second ordre s'intègre algébriquement; 



2" Si ces intégrales se réduisent à une seule, l'intégration se 

 ramène à celle d'une équation linéaire d'ordre ^f et à des quadra- 

 tures. On peut même pousser la réduction plus loin. 



En définitive, M. Painlevé parvient aux résultats que voici : 



On cherche à reconnaître si l'intégrale de (i) est une fonction 

 algébrique des constantes telle que la relation (^ = o soit de genre 

 tîf >- 1 . On reconnaît s'il en est ainsi algébriquement, et alors l'inté- 

 grale s'obtient elle-même algébriquement, ou bien l'équation s'in- 

 tègre par deux quadratures. 



Dans tous les cas, on sait reconnaître si l'intégrale de (i) ne 

 prend qu'un nombre donné n de valeurs autour des points critiques 



