ANALYSES ET ANNONCES. -~ MATHÉMATIQUES. 55 



donné n de valeurs autour des points critiques (en admettant que 

 cette intégrale dépende algébriquement des constantes y^, y'^). Il 

 montre que ce problème peut toujours être résolu -par des calculs 

 purement algébriques. 



Mais quelles opérations exige alors la détermination de cette 

 intégrale? Pour le voir, on commencera par ramener l'équation (i) 

 à une équation dont les points critiques sont fixes , en substituant 

 à y une fonction rationnelle de y, y', y\ soit r (x, y^ y\ yl). Soit S 

 la surface définie par la nouvelle équation 



f{x,r,r\r") = o 



entre r, r', r" quand a? est constant. Voici les cas qui peuvent se 

 présenter : 



1** La surface S n'adniet qu'un nombre fini de transformations 

 birationnelles en elle-même. U équation s^ intègre algébriquement; 



2° S admet un faisceau continu de telles transformations, mais 

 le genre iir de S est plus grand que i. U équation s intègre par une 

 quadrature; 



3° Les coordonnées de S sont des fonctions uniformes à quatre 

 périodes de deux paramètres ('sr= i). U équation s'intègre par qua- 

 dratures (Picard); 



4" Les coordonnées de S s'expriment rationnellement en fonc- 

 tion de X, \/R(^), 1^5 V^I^ (i^)î ^ 6t R' désignant deux polynômes 

 du quatrième degré en X et [x ('uf= i). Uéquation s'intègre à Vaide 

 de deux quadratures ; 



5" Les coordonnées de S s'expriment en fonction uniforme de X , 

 \/R(X) et f;t(tîr=o). L'équation se ramène par une quadrature à 

 une équation de Riccati; 



6° La surface est unicursale. Une transformation algébrique ra- 

 mène (i) à une équation linéaire et homogène du troisième ordre. 



Ces conclusions s'étendent à une équation différentielle d'ordre 

 quelconque : oi^ sait reconnaître si l'intégrale ne prend qu'un 

 nombre connu n de valeurs autour des points critiques mobiles (et 

 dépend algébriquement des constantes) : l'équation s'intègre alors 

 algébriquement, ou par quadratures, ou se ramène aux équations 

 linéaires du troisième ordre. 



