62 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Soit S (a?, ^, ^') = o la condition pour qu'uile Valeur de y" de- 

 vienne infinie ou pour que deux valeurs de y" Se permutent. Si 

 l'intégrale de (i) a des points essentiels mobiles : 



1*' Le polynôme S contient un facteur de la forme Sj (x, y) ohy 

 figure ; 



2° L'équation (i), où Ton regarde x comme la fonction , admet , 

 quel que soit ^q, l'intégrale x^x^-, 



3° Si le point arbitraire Xq est un point essentiel de y (^), en 

 tout point X voisin de Xq , on a l'une au moins des inégalités 



S^{x,y) 



<£. 



£, 



S étant aussi petit qu'on veut. 



Mais ces conditions sont loin d'être suffisantes pour qu'il y ait 

 des points essentiels mobiles. Pour qu'il en existe, il faut encore 

 d'autres conditions en vertu desquelles, comme dit M. Painlevé, 

 les conditions 2° et 3° sont vérifiées intrinsèquement et non pas seu- 

 lement en apparence. 



Les équations (i) se trouvent ainsi réparties en deux classes : une 

 classe générale et une classe singulière. 



Si l'équation est de la classe générale, l'intégrale y [x) a ses 

 points algébriques fixes, bien plus elle dépend algébriquement des 

 constantes i/q, î/'q .On sait reconnaître si elle ne prend qu'un nombre 

 donné de valeurs autour des points critiques mobiles : elle s'intègre 

 alors algébriquement ou par quadrature , ou se ramène à une équa- 

 tion linéaire du troisième ordre. 



Si l'équation (i) est de la classe singulière, l'intégrale n'admet 

 pas nécessairement de points essentiels mobiles, mais c'est toujours 

 une fonction transcendante des constantes y^, y q. 



Ces conclusions s'étendent aux équations à^ ordre quelconque : une 

 telle équation n'admet pas en général de points essentiels mobiles. 



Mais des complications nouvelles surgissent dès le troisième ordre. 

 Par exemple , tandis que , pour une équation du second ordre , une 

 intégrale qui est uniforme ou qui a n valeurs n'a jamais de ligne 

 singulière, l'intégrale d'une équation du troisième ordre peut être 

 Uniforme et présenter des lignes singulières mobiles, dans le voisi- 

 nage desquelles elle est nécessairement indéterminée. 



