ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 63 



Remarque sur la côMMUNtcATiôN Précédente, par M. Picard. 

 [Comptes rend. Acàd. deé sciences, t. GXVI, p. 365; 1898.) 



Sur les intégrales uniformes des équations linéaires, par M. Helge 

 VON KoGH. [Comptes rend. Acad. des sciences, t. CXVI, p. 365-368; 



1893.) 



Étant donnée une équation linéaire dont les coefficients sont 

 des fonctions uniformes de x, quelles sont les conditions pour 

 qu'elle admette des intégrales uniformes dans tout le plan? C'est là un 

 problème qui, jusqu'ici, même dans l'hypothèse de coefficients ra- 

 tionnels, n'a été traité que dans des cas particuliers. Grâce à la 

 théorie des 'déterminants infinis, dit M. Helge von Koch, on peut 

 le résoudre dans toute feâ généralité. 



En effet, l'intégrale iiniforme sera nécessairement de la forme 



<?=G(^)+^G,.(^} 



û^,a^,. . .,aq désignant les points singuliers, et les G des fonctions 

 entières. En substituant cette expression dans le premier membre 

 de l'équation différentielle, on obtient, pour la détermination des 

 coefficients inconnus , un système , généralement infini , d'équations 

 linéaires et homogènes. On peut s'arranger de façon que le déter- 

 minant A de ce système soit convergent. Dès lors l'existence de l'in^ 

 tégrale (p s'exprime par la seule condition A=^o. 



Pour qu'il y ait un nombre donné jS (<:w) d'intégrales uniformes 

 dans tout le plan, il faut et il suffit que A et tout ses mineurs 

 d'ordre 1 , 2 , . . . , /3 — 1 soient nuls , ce qui s'exprime par un 

 nombre fini de relations entre les paramètres. L'auteur enseigne à 

 former ces relations dans le cas où les coefficients de l'équation sont 

 rationnels, et ensuite à reconnaître si les a,, qui sont les seuls 

 points singuliers possibles des (p, sont des pôles ou des points es- 

 sentiels. La représentation analytique des intégrales s'obtient alors 

 immédiatement. 



La méthode indiquée dans cette communication s'applique d'ail- 

 leurs à des problèmes plus généraux. 



