ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 



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Le mode de représentation de Téquation par une surface dont 

 l'auteur fait usage présente l'avantage suivant : les courbes qui re- 

 présentent les intégrales jouissent d'une propriété qifi reste toujours 

 la même quelle que soit l'équation différentielle, à savoir que la 

 tangente à l'une quelconque de ces courbes fait partie d'un com- 

 plexe linéaire toujours le même (complexe capital). M. Autonne 

 appelle intégrante toute courbe dont les tangentes sont situées sur 

 ce complexe. 



Il démontre que toute équation du premier ordre 



F(|, ^,p) = o 





où F est un polynôme en ^,rj,p, peut être considérée comme don- 

 nant les intégrantes sur une certaine surface algébrique #, qui 

 même est unicursale si p figure dans F au premier degré. Réci- 

 proquement , la détermination des intégrantes entraîne l'intégration 

 d'une équation du premier ordre; celle-ci est du premier degré 

 lorsque la surface ^ est unicursale. 



Les coordonnées homogènes Zj(j=i ^ 2,3, h) d'un point z de^ 

 sont, lorsque § est unicursale, données par les relations 



oii p est un facteur de proportionnalité et (pj une forme ternaire. 

 La relation infinitésimale qui caractérise les courbes intégrantes 

 est 



(^zdz) = 



dz^ dzc^ 



dz^ dz,^ 



= 0. 



Les intégrantes de F se trouvent donc représentées sur le plan 

 lieu des points x de coordonnées Xi (i= i, a , 3) par les intégrales 

 de l'équation du premier ordre et du premier degré (équation ré- 

 glementaire) 



(?#)= 



[xdx)^ {x dx)^[xdx)^ 

 'Pli <?>n <P» 



?2, ?22 ^23 



[x dx)^ (x dx).2 {x dx). 



<P41 



?32 

 ?42 



<Pô3 



?«3 



<Pji 



1^ 



