70 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Toute équation différentielle du premier ordre et du premier 

 degré peut être considérée comme une réglementaire. La connais- 

 sance des intégrantes sur la surface unicursaie F entraîne celle des 

 intégrales de la réglementaire. C'est là le principe de la méthode 

 de M. Autonne. 



Abandonnant la classification des équations d'après leur dimen- 

 sion , Fauteur les classe d'après l'ordre de la surface ^ ou , ce qui 

 revient au même, d'après l'ordre des formes (pj, suivant qu'elles 

 sont linéaires, quadratiques, cubiques, etc. 



Dans la première partie de son mémoire, il établit les fonde- 

 ments de sa méthode. Si dans une équation du premier ordre 



F [^^, ^2î ^3î {x dx)^^ [x dx)^^ {xdx)^^^ = o, 



on remplace [xdx)i par la coordonnée î/,- d'une droite variable m, 

 on obtient un connexe L dont les courbes de coïncidence sont pré- 

 cisément les intégrales de l'équation différentielle. M. Autonne donne 

 des formules qui établissent une correspondance birationnelle entre 

 les points d'une surface algébrique É- et les éléments du connexe L. 

 11 établit les relations qui lient l'ordre de 5^ à l'ordre et à la classe 

 de F et il démontre qu'aux intégrales du connexe correspondent 

 bien sur F les courbes intégrantes. Cette première partie se ter- 

 mine par l'introduction des équations différentielles réglementaires 

 et l'identification des deux problèmes suivants : recherche des inté- 

 grantes sur les surfaces unicursales , et intégration de l'équation 



V = ^iVi{xdx)i^o. 



La seconde partie, purement géométrique, est consacrée au pro- 

 blème des intégrantes. Le principal artifice employé pour la solu- 

 tion est la transformation des surfaces birationnelle et régulière, 

 c'est-à-dire changeant les intégrantes en d'autres intégrantes. L'au- 

 teur indique les conditions générales de régularité et construit toutes 

 les substitutions régulières linéaires. 



Il fait alors la théorie géométrique des intégrales. Par chaque 

 point d'une surface algébrique ne passe qu'une intégrante; les 

 points nodaux par lesquels il peut en passer plus d'une sont en gé- 

 néral en nombre fini sur la surface, mais quelquefois il peut exister 

 toute une courbe nodale, et dans ce cas la recherche des intégrantes 

 est beaucoup plus facile. 



