ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉ VIATIQUES. 71 



Sur les plans, les quadriqaes, les cubatiques gauches, Temploi 

 d'une substitution régulière linéaire convenable permet de trouver 

 les intégrantes par des procédés élémentaires. Pour le plan et la 

 quadrique, on na besoin d'effectuer que des quadratures. Pour la 

 cubatique gauche, on est ramené à une équation de Riccati, à 

 moins que la droite double de la cubatique ou bien la directrice 

 rectiiigne des génératrices ne soient rectilignes , auquel cas on est 

 ramené simplement an^ quadratures. 



La seconde partie se termine par une étude détaillée des inté- 

 grantes sur une cubatique ayant une ligne nodale. On est alors ra- 

 mené, pour trouver ces intégrantes, à intégrer une équation diffé- 

 rentielle P de dimension 2 ou i . 



Dans la troisième partie, M. Âutonne introduit la notion de 

 points polycritiques et hypercritiques. On sait que , si Téquation dif- 

 férentielle P = o est de dimension m, il y a dans le plan m^-f-m-f- 1 

 points critiques par lesquels peut passer plus d'une intégrale. En ces 

 points, 'P = ^i^idxi s'annule indépendamment des différentielles 

 dxi. L'auteur dit qu'un point ( x^ ,x^,x^) est polycritique d^ordre a , si 

 en ce point P , dP , d'^P , . . . , ^/a - 1 P s'annulent indépendamment des 

 différentielles dxi^ d'^xi, . . . d^xi. Si a = 1 , le point est monocritique , 

 dicritique si a= 2 , etc. Enfin si, en un point dicritique, les courbes 

 du réseau ont un point double, le point dicritique devient hyper- 

 critique, ■ 



Tous ces points se trouvent en connexion étroite avec les points 

 nodaux de la surface § et aussi avec les points fondamentaux des 

 formes ternaires (pj. Les points fondamentaux sont en général di- 

 critiques pour la réglementaire. 



Ces préliminaires posés, l'auteur passe à l'étude des réglemen- 

 taires obtenues en opérant sur les formes ternaires Ç^ d'ordre 1 , 

 2, 3. Si cet ordre est /, la dimension de la réglementaire est 

 m=2 [l— 1). 



Il insiste peu sur les formes linéaires ( ^ = 1 ) qui ne donnent 

 rien d'intéressant , car dans ce cas les intégrales sont des droites con- 

 courantes, et sur les formes quadratiques /= 2 , cas qui a été étu- 

 dié à fond par M. Darboux. Mais il fait une longue étude du cas /= 3 

 lorsque la surface unicursale <?)^est cubatique, ce qui entraîne l'exis- 

 tence de six points fondamentaux. La dimension de la réglemen- 

 taire est m = h, La présence sur la surface § d'une ligne nodale 

 est révélée soit par l'abaissement de ia dimension, soit par l'appa- 



