466 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Les conditions qui doivent être réalisées intrinsèquement pour que 

 l'équation soit de la classe singulière sont alors les suivantes : 



1° Des valeurs de y" sont infinies ou se permutent, quel que 

 soit y\ pour des valeurs ^, y satisfaisant à une relation S^ (x^y)= o 

 où figure y ; 



2° L'équation (i), oii a; est regardée comme la fonction, admet, 

 quel que soit ^q, l'intégrale x = Xq. 



Cela posé, si l'équation (i) est de la classe générale, l'inté- 

 grale y{x) dépend algébriquement des constantes î/q, y^'. Si l'équa- 

 tion (i) est de la classe singulière, y est une fonction transcendante 

 de î/q, yQ. Mais y peut être fonction transcendante d'une seule ou 

 des deux constantes d'intégration. Dans le premier cas , l'équation (i) 

 se ramène à une équation du premier ordre algébrique en y, y' et 

 dont les coefficients sont des fonctions de x qui dépendent d'une 

 équation de Riccati. Pour que l'intégrale soit une transcendante 

 nouvelle, il faut donc qu'elle renferme les deux constantes d'une 

 façon transcendante; cette condition n'est d'ailleurs pas suffisante. 



M. Painlevé insiste, en terminant, sur les équations du second 

 ordre à points critiques fixes. Quand l'équation est de la classe singu- 

 lière, les conditions suffisantes pour que les points critiques soient 

 fixes sont , en général , des conditions transcendantes propres à chaque 

 équation. 



Un théorème de géométrie infinitésimale, par M. Koenigs. 

 [Comptes rend. Acad. des sciences, t. GXVI, p. 669; 1898.) 



Si X, y, z; x\y\z sont les coordonnées de deux points corres- 

 pondants de deux surfaces applicables l'une sur l'autre, et u, v les 

 paramètres des lignes du réseau conjugué commun aux deux sur- 

 faces, les six fonctions x, y, z; x\ y', z vérifient une même équa- 

 tion aux dérivées partielles d^ Laplace 



r— ^ ■-[- a r- + 6 ^ = o. 

 du ÔV OU OV 



L'expression 



x^ -\-y^ -\-z^ '— x"^ — y'^ - 

 est une septième solution de cette équation. 



