478 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



une famiile de courbes parallèles. L'équation différentielle de ces 

 surfaces S est 



H désignant une fonction arbitraire de U. 



M. Lie avait déjà signalé les équations de la forme (i) comme 

 possédant, à l'exclusion de toute autre, la propriété d'admettre des 

 caractéristiques géodésiques. 



M. Kœnigs montre qu'elles fournissent la solution générale du 

 problème des tautocbrones. 



En effet, d'après la théorie générale due à Monge, toute inté- 

 grale de l'équation 



(2) dx'' + dy^ + dz^ -(^—dx + ^dy^~ dzj= 



s'obtiendra en prenant sur une surface intégrale de (1) la courbe 

 enveloppe E des caractéristiques. Or ces courbes E sont des courbes 

 tautocbrones pour la force dérivant du potentiel 



011 a, /S sont deux constantes quelconques dont la dernière est po- 

 sitive. 



Réciproquement, le problème des tautocbrones pour la fonction 

 de forces V se ramènera à l'équation (2), où l'on fera 



O's/t 



Dans le cas où la fonction H ne dépend pas de z, l'équation (1) 

 n'est autre que celle dont la métbode de Jacobi ferait dépendre le 

 problème des géodésiques sur la surface 



z = iE{x,ij). 



On voit que, si l'on connaît les géodésiques d'une surface, on 

 peut en déduire des solutions, avec une constante arbitraire, d'un 

 problème de tautocbrones. 



