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Sue les Équations bu second ordre 1 points critiques fiies et sur 

 LA correspondance univoque entre deux surfaces, par M. Pain- 

 LEYÉ. (Comptes rend, de VAcad. des sciences, t. GXVII, p. 61 1-61 Zi; 



1893.) 



Lorsqu'une équation différentielle du second ordre 



a ses points critiques fixes, son intégrale y{x) définit, pour x et Xq 

 constants, une correspondance biuniforme entre les deux surfaces 



F{y"^y\y^^)=-o, ¥{y[,y[,y^,x^) = o. 



Lorsque, de plus, cette correspondance est birationnelle, les 

 intégrales doubles et les différentielles totales de première espèce , 

 attachées à F, se conservent dans la transformation, et c'est ce qui 

 rend l'intégration possible. 



M. Painlevé s'occupe actuellement du cas 011 la correspondance 

 en question n'est pas birationnelle, mais où l'intégrale y=f{x,0L,^) 

 dépend algébriquement de l'une a des deux constantes d'intégration 



a, /S. En éliminant a entre y=f{x,a,^) et ^' = ^, on obtient 



une équation qui peut être ramenée algébriquement à l'une des 

 deux formes 



V = /y'2 -\- mv -\- n , 



l,m,n étant des fonctions algébriques de x et d'une variable 11 

 fonction de x, qui vérifie soit une équation de Riccati 



w' = Lw2 + Mw + N, 

 soit une équation 



où L, M, N dépendent algébriquement de x. 



M. Painlevé enseigne à reconnaître si l'intégrale d'une équation 

 donnée est bien de cette nature. La méthode qu'il indique s'applique 

 à toutes les équations , sauf à celles pour lesquelles le nombre des 

 différentielles totales de première espèce , attachées à F, est égal à 

 zéro. 



