922 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



un paramètre; ie groupe linéaire homogène, le groupe linéaire 

 général et le groupe projectif. Donc par un changement de varia- 

 bles convenable 



Téquation (3) prendra Tune des trois formes 



C = cB[x^^ . • . , ^m), 



C' = ce^{x^, . . . ,Xn)^6.^{x^, . . . ,Xn), 

 , ^ cd^jx^, . . . ,x„)-\-d.^{x^, . . .,x„) ^ 



Cela revient à dire que l'équation (2) qui définit l'intégrale 

 générale de l'équation (1) prend, par le changement de fonction 

 et de constante 



x = (p{\), a = (p{c), 



Tune des trois formes 



^=^1(0 + «2(0 



ca,[t), X = caj(f)-|-a.2(0' -^ 



^«3(0 + «4(0 



et que par suite le changement de fonction x=^(p(\), appliqué à 

 l'équation (1), fournit bien une équation linéaire sans second 

 membre ou avec un second membre , ou une équation de Riccati. 



La réciproque de ce théorème est vraie. Elle montre que le 

 nombre n des intégrales est 1, 2 ou 3. De là trois sortes d'équations 

 que M. Vessiot caractérise de la manière suivante : 



1 *" Les équations de la première classe sont celles où les variables 

 sont séparées ; 



2"* Les équations de la deuxième classe sont celles dont le second 

 membre ¥{x,t) est intégrale d'une équation linéaire du second 

 ordre, dont les coefficients ne dépendent que de x et telle que le 

 déterminant fonctionnel de deux intégrales en soit une intégrale. 

 Elles s'intègrent par deux quadratures ; 



3'' Les équations de la troisième classe sont celles pour les- 

 quelles F est intégrale d'une équation linéaire du troisième ordre, 

 à coefficients en x, identique à sa transformée au déterminant 

 fonctionnel de deux intégrales. Une telle équation peut être ramenée, 

 par des calculs algébriques, à une équation de Riccati. 



