ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 923 



De l^eiistence des intégrales dans un système différentiel quel- 

 conque, par M. RiQuiER. (Ann. de VEcole normale, 3* série, 

 p. 65-86, i23-i5o, 167-181; 1893.) 



Ce travail étendu porte sur l'existence des intégrales dans un 

 système d'équations différentielles comprenant un nombre quel- 

 conque de fonctions inconnues et de variables indépendantes. Les 

 plus simples de tous sont les systèmes complètement intégrables 

 d'équations différentielles totales du premier ordre. En ce qui con- 

 cerne les systèmes partiels, M. Bourlet a réussi à réduire un sys- 

 tème différentiel quelconque à une forme du premier ordre pour 

 laquelle on peut affirmer la convergence des développements des 

 intégrales. 



Allant plus loin dans cette voie, M. Riquier effectue la réduction 

 d'un système quelconque à un système complètement intégrable 

 d'ordre égal ou supérieur à 1, et présentant, avec certaines parti- 

 cularités, la forme entière par rapport aux dérivées des fonctions 

 inconnues. 



La notion capitale dans la théorie de M. Riquier est celle de 

 système différentiel harmonique. Voici comment l'auteur conçoit et 

 définit un pareil système : 



A chacune des variables indépendantes x,y, . . . et à chacune 

 des fonctions inconnues m, v, ... il fait correspondre p entiers, 

 positifs, nuls ou négatifs, qu'il nomme cotes première, seconde, . . . 

 pième ^Q f.Q^iQ quantité. Considérant ensuite une dérivée quelconque 

 de l'une des fonctions inconnues et désignant par q un terme pris 

 à volonté dans la suite 1, 2, . . . , jo, il appelle cote ^'1'"^ de cette 

 dérivée l'entier obtenu en ajoutant à la cote q'^""^ de la fonction 

 inconnue les cotes homologues de toutes les variables de diffé- 

 rentiation. 



Cela posé, le système différentiel sera dit harmonique si, grâce à 

 un choix convenable de p et des cotes de x, y, . . . , m, v, ... il 

 remplit à la fois les conditions suivantes : 



1° Chacune des équations a pour premier membre une certaine 

 dérivée de quelque fonction inconnue, et les seconds membres de 

 ces équations sont olotropes dans quelque système de cercles tracés 

 dans les plans des x, y, . .. , u, v, ... et des diverses dérivées de 

 u,v, . . . envisagées comme variables indépendantes; 



2° Les diverses dérivées des fonctions inconnues qui figurent 



