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dans chacun des seconds membres ont des ordres au plus égaux à 

 celui du premier membre. En outre , si l'on désigne par c^ , c^ ,. . . , c^ 

 les cotes du premier membre, par c\^, c\, . . , , c'^ celles d'une dé- 

 rivée quelconque d'ordre égal figurant dans le second, les diffé- 

 rences 



ne sont pas toutes nulles, et la première qui ne s'évanouit pas est 

 positive; 



S*' Aucun des premiers membres ni aucune de leurs dérivées ne 

 figure dans le second membre d'aucune des équations données. 



Les systèmes harmoniques de M. Riquier renferment, comme cas 

 particulier, les systèmes canoniques de M. Bourlet. 



Cherchant si, pour un système harmonique, il existe quelque 

 groupe d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales 

 données, M. Riquier trouve qu'il est nécessaire que certaines rela- 

 tions, qu'il nomme ultimes, s'accordent numériquement par rapport 

 aux conditions initiales dont il s'agit. 



Mais il peut arriver que la concordance des relations ultimes 

 subsiste indépendamment des données initiales. 



Quand il en est ainsi, le système harmonique est dit passif. 

 L'auteur enseigne les caractères auxquels on reconnaîtra la passivité 

 d'un tel système. Les systèmes harmoniques passifs sont ceux qui 

 jouent le premier rôle dans les recherches de l'auteur. 



Un système harmonique et passif quelconque admet, en effet, 

 un groupe d'intégrales ordinaires et un seul répondant à des con- 

 ditions initiales données. 



Par intégrales ordinaires, il faut entendre celles qui remplissent à 

 la fois les deux conditions suivantes : i° elles sont olotropes à l'in- 

 térieur de quelque système de cercles et les valeurs qu'elles acquiè- 

 rent entre ces limites, prises conjointement avec celles de leurs dé- 

 rivées et des variables indépendantes, restent toujours intérieures 

 aux cercles d'olotropie des seconds membres; 2° la substitution de 

 ces intégrales opérées entre les mêmes limites transforme en iden- 

 tités les diverses équations du système. 



De tout système harmonique passif on peut d'ailleurs déduire un 

 système d'ordre égal jouissant d'importantes propriétés pour l'énu- 

 mération desquelles nous devons reuA^oyer au travail de l'auteur. 



Après avoir achevé l'étude détaillée de ces systèmes différentiels 



