1106 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Sur une nouvelle manière d'Établir les relations algébriques qui 



ONT LIEU entre LES FONCTIONS IIVPERELLIPTIQUES DE PREMIERE ESPECE , 



par M. Caspary. (Ann. de l'Ecole normale, t. X, 3® série, p. 2 53- 



M. Caspary prend pour point de départ la définition que 

 M. Weierstrass a donnée des fonctions hyperelliptiques : si Ton désigne 

 par 5^, «2 des variables et par Aq, «q, a^, a^, «3^ «4 des constantes, 

 les fonctions hyperelliptiques de première espèce sont définies par 

 les expressions 



P,=P p.p> r v/tM^) viSl_i, 



où les indices a,/3,y, J", e désignent, dans un ordre quelconque, 

 0, 1, 2, 3, A, et oià Rx représente le polynôme 



Ao(5, — «o)(5, — «^)(S, — rt2)(Sx — «3)(S.— «4) (X=l,2). 



De cette définition, M. Caspary déduit immédiatement ce théo- 

 rème fondamental, que les quinze fonctions hyperelliptiques de 

 première espèce, P^,P^,sont proportionnelles aux quinze éle'ments 

 a„„(m, w= 1, 2 , 3), jt>/i, Va (A= 1, 2 , 3) d'un système orthogonal. 



11 comprend sous ce nom les neuf coefficients a^n d'une substi- 

 tution orthogonale de F déterminant -f- 1 et les six différentielles 



Ph = — {(lik da^i -f- «afc da^i + «3 jt ^«3/ ) , 

 Vp = -\- flfci dau + auç, dai, + «a-s ^«73 , 



où A, k, l désignent les indices i,2,3;2,3,i;3,i,2. 



C'est sur le théorème qui vient d'être rappelé que l'auteur 

 s'appuie pour établir les nombreuses relations algébriques qui lient 

 les fonctions hyperelliptiques de première espèce. 



