ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1107 



Les lois de bÉciprocité et les sous-groupes du groupe arithmétique , 

 par M. Stouff. {Ann. de VEcole normale, t. X, 3^ série, 1898, 

 p. 296-31/1.) 



L'idée qui , dans ce travail , a servi de guide à M. Stouff se trouve 

 dans les recherches de Sylvester relatives à la loi de réciprocité 

 ordinaire pour les nombres réels. Malheureusement cette loi de 

 réciprocité ne donne pas un moyen simple de définir des sous- 

 groupes, car elle exige, pour reconnaître le caractère d'une sub- 

 stitution, un développement en fraction continue. 



11 faut alors avoir recours aux lois de réciprocité des nombres 

 complexes données déjà en partie par Gauss et Eisenstein. 



Ces lois se rattachent, comme le montre M. Souff, à une théorie 

 importante , celle des substitutions linéaires. 



L'auteur envisage le groupe G de substitutions à coefiScients réels 



(.,^), a^-/3y=i, /3=o(mod.3). 



Ce groupe admet pour substitutions génératrices 



T(z,. + 3), U(z,^-i^). 



M. Stouff fait d'abord usage de la loi de réciprocité cubique , qui 

 introduit le symbole [— ], dans le sens où l'entend Eisenstein. 



Il considère l'expression ^ oij 



c=o(mod. 3), 6^=i(mod. 3). 



Nous ne relaterons que l'un des cas examinés par M. Stouff, celui 

 où le caractère du numérateur 3 [a-\-hp) est 2. 



Soit alors K le sous-groupe de G , formé des substitutions pour 

 lesquelles /S est divisible par 9. Si l'on suppose une substitution S 

 de K exprimée au moyen des substitutions T et U, 



S==T«iU^ ... T«« U^n, 



et qu'on désigne par r^^i\ . , , r„ le nombre total des substitu- 



