﻿ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 



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n'aurait pu avoir qu'un nombre restreint de lecteurs, que peuvenl 

 contenter, dans une certaine mesure, les beaux fragments publiés 

 par M. Stieltjes : il ne nous appartient pas de compléter L'œuvre 

 d'Halphen. 



C'est un livre beaucoup plus élémentaire que nous avons tenté 

 d'écrire ; ce sont les étudiants de nos Facultés que nous avions en 

 vue :" nous avons essayé de faire un livre qui se raccordât avec 

 l'enseignement qui leur est donné; s'ils peuvent, après nous avoir 

 lus, traiter des applications faciles et les pousser jusqu'au bout; 

 si quelques-uns d'entre eux complètent leurs connaissances dans 

 le livre d'Halphen, s'ils étudient en particulier les belles applica- 

 tions qui remplissent le second volume, s'ils se retrouvent sans 

 peine dans les Formeln und Lehrsàtze zum Gebrauc/te der ellipti- 

 schen Functionen que M. Schwarz publie d'après les leçons et les 

 notations de M. Weierstrass, s'ils lisent les Mémoires fondamen- 

 taux d'Abel et de Jacobi, s'ils pénètrent enfin dans la riche et ad- 

 mirable littérature des fonctions elliptiques et prennent en parti- 

 culier connaissance des recherches de Kronecker et de M. Hermite, 

 nous aurons entièrement atteint notre but. 



Il nous reste à faire connaître l'ordre que nous avons suivi. 



Nous avons réuni dans une Introduction les éléments de la 

 théorie des séries et des produits infinis qui nous ont paru indis- 

 pensables. Les propositions fondamentales de la théorie des fonc- 

 tions d'une variable imaginaire qui se déduisent de la considéra- 

 tion des in tégrales prises entre des limites imaginaires, propositions 

 dont nous ferons largement usage, ont été, dans cette Introduc- 

 tion, systématiquement laissées de côté : elles sont, depuis long- 

 temps, inscrites dans le programme de la licence ès sciences ma- 

 thématiques; elles sont partout très bien enseignées et sont 

 développées dans d'excellents livres, qui sont bien connus. On 

 insiste souvent moins sur le rôle que jouent, dans la théorie des 

 fonctions, les séries ordonnées suivant les puissances entières de 

 la variable, bien que Cauchy ait mis pleinement ce rôle en lumière. 

 Il nous importait surtout d'exposer avec détail quelques-uns des 

 résultats essentiels obtenus par M. Weierstrass. Cette Introduc- 

 tion, nous espérons que beaucoup de nos lecteurs pourront se 

 dispenser de la lire en entier; mais si, dans la suite, ils ont 

 quelque inquiétude sur la rigueur do. certaines démonstrations et 

 transformations, ils pourront y recourir. 



Nous, introduisons immédiatement la fonction su sous forme de 

 produit infini, Cette voie directe, qui est celle de M. Weierstrass, 



