﻿378 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Or M. Painlevé montre que, si l'intégrale est transcendante, 

 il ne peut exister plus de deux valeurs remarquables de C. 



Dès lors, on peut toujours reconnaître si l'intégrale d'une équa- 

 tion (1) est une fonction transcendante qui ne prend qu'un nombre 

 fini (non donné) de valeurs autour des points critiques mobiles, 

 et l'équation se ramène alors par des calculs algébriques à une 

 équation de Riccati. Il n'y a qu'un cas exceptionnel, et dans ce 

 cas l'équation proposée s'intègre par une quadrature. 



Ce théorème subsiste si les coefficients de (1) sont des fonctions 

 transcendantes de x s'exprimant algébriquement au moyen d'une 

 même fonction. 



La recherche des intégrales algébriques est plus compliquée 

 que celle des solutions transcendantes. L'auteur développe à ce 

 sujet une méthode qui réussit dans des cas très étendus, mais 

 qui échoue nécessairement dans le cas où l'intégrale algébrique 

 est de genre plus grand que zéro et admet, plus de deux valeurs 

 remarquables. 



Les résultats obtenus s'étendent à une équation algébrique 

 quelconque en y', y et x. On peut toujours reconnaître si l'inté- 

 grale est une fonction transcendante qui ne prend qu'un nombre 

 fini de valeurs autour des points critiques mobiles, ou bien Ton 

 intègre l'équation par une quadrature. 



Sur un théorème arithmétique de M. Poincaré, par M. Stanievitch. 

 (Comptes rendus de TAcad. des sciences, \. CXIV, 1892, p. 109- 

 112.) 



L'auteur, s'appuyant sur une formule due à M. Mertens, in- 

 dique une démonstration simple des théorèmes de M. Poincaré 

 (Comptes rendus, 14 déc. 1891) sur la distribution des nombres 

 premiers de la forme 4^ + 1. 



Il établit ensuite des résultats analogues concernant la distri- 

 bution des nombres premiers de la forme 4^ + 3 et plus géné- 

 ralement de la forme kn -f /, k étant premier avec /. Ainsi : 



Le nombre des nombres premiers de la forme kn -j- / inférieurs 



ax 



à x est [une infinité de fois plus petit que — — , si a>i, et 



ç(k)logx 



a,x 



une infinité de fois plus grand que — — ; si a<i. 



o{k) loger 



