﻿ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 38 A 



et posant 



\ («) = B * M = - c , ; M = - D , t M = % («)■ 



M. Lie énonce un théorème analogue dans le cas de n dimen- 

 sions : 



Les p équations fonctionnelles. 



(k — i, ...,f), 



quand on assujettit les arguments t ± , hp — 3 à être liés seulement 

 parp — 1 équations dont chacune contienne au moins p arguments, 

 sont vérifiées de la manière la plus générale par des expressions 

 de la forme 



q(x))...,<d p (x) désignant p intégrales abéliennes de première espèce 

 et de genre p. Il existe des solutions spéciales qui toutes sont des 

 intégrales abéliennes de genre plus petit que p. 



Sur les intégrales des équations du premier ordre qui n'admettent 

 qu'un nombre fini de valeurs, par M. Painlevé. (Comptes rendus 

 de VAcad. des sciences, t. CX1V, 1892, p. 280-283.) 



M. Painlevé établit un important résultat concernant les équa- 

 tions du premier ordre dont le premier membre est un polynôme 

 irréductible en y, y' et une fonction algébrique de x : 



On peut toujours reconnaître si l'intégrale d'une telle équation 

 est une fonction transcendante qui ne prend qu'un nombre fini 

 (non donné) de valeurs autour des points critiques mobiles (et 

 l'on ramène alors l'équation à une équation de Riccati), ou bien 

 on l'intègre par des quadratures. Ces quadratures portent, suivant 

 les cas, sur des différentielles ordinaires ou sur des différentielles 

 totales. La méthode de M. Painlevé s'étend aux équations dont les 

 coefficients dépendent algébriquement d'une même fonction trans- 

 cendante de x. 



Il resterait à traiter le cas où l'intégrale est algébrique. L'au- 

 teur développe une méthode qui, si elle ne donne pas une solu- 

 tion générale du problème, fournit dans tous les cas d'importants 

 renseignements sur la forme possible des intégrales et permet 

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