﻿ANALYSES ET ANNONCES. 



— MATHÉMATIQUES 



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Cette relation fournit une démonstration très simple du théo- 

 rème de Poncelet, sur les polygones simultanément inscrits et cir- 

 conscrits à deux coniques S, S'. 



Sur les développements canoniques en série dont les coefficients 

 sont les invariants différentiels d*un groupe continu, par 

 M. Tresse. (Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. CXIV, 1892, 

 p. 1256-1258.) 



Étant données n variables indépendantes z 19 ...,a n et p fonc- 

 tions Zj, ... y Zp de ces variables soumises aux transformations d'un 

 groupe continu fini ou infini 



x>~X(x,z), z'~Z(x,z), 



on sait (Lie) qu'il existe une suite infinie d'invariants différentiels, 

 qu'on peut déduire d'un nombre fini d'entre eux en formant le 

 quotient de leurs déterminants fonctionnels. 



M. Tresse a déjà indiqué sur un exemple particulier comment 

 on pouvait appliquer les développements en série au calcul des 

 invariants différentiels. Mais on peut énoncer une proposition gé- 

 nérale qui régit cette théorie. 



Soient, dans le voisinage d'un point arbitraire (x , z ), 



( 1 ) zi ~ i{ + E*ài*(*A - 4) + • • ■ 



les équations de la multiplicité. Quand on effectue une transfor- 

 mation du groupe, le point (x , z ) devient le point [xj, z ), et la 

 multiplicité transformée a pour équations 



(O z/=zf + 4°) + ... 



Un invariant différentiel est une fonction des x et des coeffi- 

 cients de (1), qui ne change pas de valeur quand on y remplace 

 les lettres par les lettres accentuées. La proposition annoncée est 

 alors la suivante : 



Qu'on dispose des arbitraires dé la transformation de façon que, 

 parmi les x' et les coefficients de (i') f un certain nombre ait des 

 valeurs fixes arbitraires. La transformation étant ainsi détermi- 

 née, les expressions des autres coefficients de (i') en fonction des 

 x et des coefficients de (1) sont les invariants différentiels du 

 groupe. 



