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REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Sur l'application aux équations différentielles ordinaires de cer- 

 taines méthodes d'approximations successives, par M. Picard. 

 (Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. CXV, 1892, p. 543- 

 549-) 



L'auteur commence par rappeler la méthode d'approximation 

 qui lui a seryi (Journal de mathématique, 1890) à démontrer l'exis- 

 tence des intégrales des équations différentielles ordinaires. 



Soit le système de quatre équations du premier ordre 



du dv 



— =f i (x,u,v,...), j- x = f 2 (x y u y v, ...)... 



Pour avoir les intégrales u, v, ... prenant respectivement pour 

 x — x les valeurs u , v , ... on considère d'abord le système 



du x dv i , 



_=/;(*, u , u , ...), — w , u , ...)... 



On en tire, par quadrature, les fonctions w t , v it ... en les déter- 

 minant de manière qu'elles prennent pour x les valeurs données. 

 On forme ensuite les équations 



— = f l (x, u„ v, ...), —=f 2 (x, u i9 v, ...). .. 



et Ton détermine u. 2 ,v 2 , ... par les mêmes conditions initiales. On 

 continue ainsi indéfiniment et l'on montre que u m , v m ont des li- 

 mites qui donnent le système cherché d'intégrales si x est suffi- 

 samment voisin de x . 



M. Picard indique quelques applications intéressantes à des 

 classes particulières d'équations. 



Il suppose d'abord que, x restant positif, les fonctions f sont 

 positives et croissent avec u, v , que, de plus, les dérivées par- 

 tielles du premier ordre de / par rapport à u,v,... vont en décrois- 

 sant quand u, v, ... augmentent. Dans ces conditions, on a un 

 système d'intégrales u, v, ... s'annulant pour x — o et restant fi- 

 nies pour toute valeur positive de x. Peut-on, à l'aide des approxi- 

 mations successives, obtenir un développement en série de ces 

 intégrales valable pour toute valeur positive de x? Il en est bien 

 ainsi; mais la démonstration est délicate, parce que, de ce que 

 ont des limites, il ne s'ensuit pas que ces limites doivent 

 nécessairement représenter les intégrales. 



Mais tout autres sont les circonstances quand les fonctions /*, 



