﻿700 



REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Sur l'équation adjointe et sur certains systèmes d'équations diffé- 

 rentielles, par M. Borel. (Annales de V Ecole normale, 3 e série, 

 t. IX, 1892, p. 63-90.) 



L'objet de ce travail est d'indiquer quelle est la signification 

 géométrique de l'équation adjointe d'une équation différentielle, 

 ainsi que de ses principales propriétés, et d'étudier, comme ap- 

 plication, les équations équivalentes à leur adjointe et certains 

 systèmes d'équations différentielles qui s'y rattachent. 



Étant donnée une équation différentielle d'ordre n, linéaire et 

 sans second membre, on peut lui faire correspondre une courbe 

 dans un espace à n — i dimensions en regardant n intégrales dis- 

 tinctes de l'équation, comme les coordonnées homogènes d'un 

 point de la courbe. La courbe attachée à une équation donnée est 

 déterminée si l'on ne regarde pas comme distinctes deux courbes 

 transformées Tune de l'autre par une substitution homographique 

 (qui équivaut à un simple changement de coordonnées). Mais à une 

 courbe correspondent une infinité d'équations, car on peut, dans 

 une équation, changer la variable indépendante, ou multiplier la 

 fonction inconnue par une fonction déterminée quelconque, sans 

 que la courbe correspondante soit modifiée. On peut aussi évi- 

 demment multiplier le premier membre de l'équation par un fac- 

 teur quelconque. 



Les courbes attachées à deux équations adjointes l'une de l'au- 

 tre se correspondent dualistiquement (cela résulte des relations 

 connues entre les solutions d'une équation linéaire et celle de 

 l'adjointe). On peut prendre cette propriété comme définition de 

 l'équation adjointe et dire que deux équations sont adjointes 

 lorsque les courbes correspondantes sont corrélatives; cette défi- 

 nition met en évidence le fait que la relation entre les deux équa- 

 tions est réciproque; mais elle n'est pas assez précise, puisque 

 l'équation correspondant à une courbe donnée n'est pas entière- 

 ment déterminée. M. Borel la complète en ajoutant qu'il faut que 

 deux points correspondants des deux courbes correspondent à une 

 même valeur du paramètre dont dépendent les coordonnées. Cette 

 restriction étant faite, il suffit de multiplier les premiers mem- 

 bres des équations qui correspondent aux courbes par un facteur 

 convenable, pour que ces équations deviennent adjointes l'une de 

 l'autre. 



L'auteur montre comment, de cette définition géométrique, on 

 peut déduire la propriété fondamentale de l'équation adjointe. 



