﻿ANALYSES ET ANNONCES. - MATHÉMATIQUES 701 



11 cherche ensuite à quelle condition une équation d'ordre n 

 est équivalente à son adjointe. Cette question a fait l'objet de re- 

 cherches approfondies de la part de Jacobi, de 0. Hesse et de 

 M. Bertrand, pour les équations d'ordre pair, et de la part de 

 M. Darboux, pour les équations d'ordre impair. M. Borel aborde 

 le même problème par une voie géométrique. 



La discussion se scinde en deux cas, suivant qu'une certaine 

 forme <p quadratique par rapport aux intégrales x i9 *x 2J # 3 ,... 

 n'est pas ou est identiquement nulle. Dans le premier cas, la re- 

 cherche des équations correspondantes se ramène à celle des 

 lignes asymptotiques de la surface du second degré <p (a?,, x 2 ,...) zzo 

 dans l'espace à n dimensions. Les équations que l'on détermine 

 ainsi sont nécessairement d'ordre impair, et l'auteur montre géo- 

 métriquement comment leurs solutions s'expriment complète- 

 ment sans signe de quadrature. C'est toujours par des considéra- 

 tions géométriques que M. Borel retrouve le résultat énoncé par 

 M. Darboux, que la relation quadratique vérifiée par les intégrales 

 subsiste quand on les remplace par leurs dérivées jusqu'à un or- 

 dre déterminé. De plus, la méthode suivie par M. Borel lui permet 

 de démontrer la réciproque et surtout de la généraliser : si m -j- 3 

 fonctions et leurs dérivées, jusqu'à l'ordre n inclusivement, véri- 

 fient une même relation quadratique homogène, à coefficients 

 constants, ce sont les solutions d'une équation d'ordre m -j- 3 équi- 

 valente à son adjointe. 



Généralisant la question, l'auteur montre comment on peut 

 intégrer sans quadratures un système d'équations de la forme 



, v idx. dx.-> \ ( d k x. d L x? \ 



où 9 est une forme quadratique à coefficients constants de n va- 

 riables x i9 x 2 , x n (à discriminant différent de zéro); il s'intro- 

 duit dans la solution une fonction arbitraire. 



Revenant aux équations équivalentes à leurs adjointes, M. Bo- 

 rel étudie le cas provisoirement laissé de côté, où la forme © 

 est toujours identiquement nulle. La méthode qu'il emploie dans 

 ce cas a pour base la transformation corrélative, non plus par 

 rapport à une surface du second degré, comme dans le cas pré- 

 cédent, mais par rapport à ce que l'on peut appeler un complexe 

 linéaire. Mais cette méthode géométrique ne donne plus, cette 

 fois, la solution du problème sans quadrature; elle fournit, du 



