﻿ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 707 



en y effectuant toutes les transformations d'un groupe. Voici en 

 quoi consiste ce théorème : 



Soit F (ar lv .-. x n ) une fonction quelconque des arbitraires # n . 

 Si l'on y effectue la transformation générale 



x\ — f4$v ... x n ; a i9 ... a r ) iz= i, 2, ... n 



d'un groupe à r pramètres, on obtient une fonction 



¥(x[, ...,Xn)==.${x x , ... 9 -ï H ;à lt ...a r ) 



des indéterminées x x/et des paramètres à lf ..., a r . Or, pour 

 que <î> dépende exactement de r — p paramètres essentiels, il faut 

 et il suffit que F admette précisément p transformations infinité- 

 simales indépendantes du groupe, c'est-à-dire un sous-groupe à 

 paramètres du groupe donné. 



Deuxième partie. — La deuxième partie contient l'exposition de 

 la théorie générale de l'intégration des équations linéaires. 



Le point de départ de l'auteur est l'étude des fonctions ration- 

 nelles des intégrales (formant un système fondamental) d'une 

 équation linéaire et des dérivées de ces intégrales. 



n fonctions indéterminées x iy x 2 , ..., x n d'une variable t peuvent 

 toujours être considérées comme un système fondamental d'inté- 

 grales d'une équation différentielle linéaire 



d n x d n — l x , dx , 



A l'égard de cette équation, le groupe linéaire homogène géné- 

 ral à n indéterminées 



n 



( 1 ) Xi — y, QijXj (i z= 1 , 2, . . . ' n) 



joue le même rôle que le groupe de substitutions de n lettres dans 

 la théorie des équations algébriques de degré n. 



Ici s'introduisent immédiatement les fonctions rationnelles 

 R(a?j, a? 2 , ...) de x v ... a? n , de leurs dérivées successives prises par 

 rapport à t, et de la variable t. Les plus importantes de ces fonc- 

 tions R sont les fonctions invariantes, celles qui admettent toutes 

 les transformations du groupe (1). Elles jouent, dans la théorie 

 des équations linéaires, le même rôle que les fonctions symé- 

 triques des racines dans la théorie des équations algébriques. Les 

 coefficients X,, a 2 , ... \ n sont des fonctions invariantes de ar,..., x n 



