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REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



et de leurs dérivées, et toute fonction R s'exprime rationnelle- 

 ment au moyen de t, de X,,..,, X« et leurs dérivées. 



La considération des fonctions rationnelles R conduit M. Ves- 

 siot à une théorie de la transformation des équations linéaires 

 analogue à la théorie bien connue de la transformation des équa- 

 tions algébriques. Les transformations du groupe (t) qu'admet 

 la fonction rationnelle R (a? 4 , x n ) forment elles-mêmes un 

 sous-groupe que l'auteur appelle le groupe de la fonction R. Ce 

 groupe peut, d'ailleurs, se réduire à la seule transformation iden- 

 tique. 



Voici maintenant comment s'introduit la transformation d'une 

 équation linéaire. Soit toujours R^.,..., x n ) une fonction ration- 

 nelle des intégrales et de leurs dérivées et soit n* — s le nombre 

 des paramètres de son groupe, c'est-à-dire le nombre des trans- 

 formations infinitésimales linéaires homogènes distinctes qu'elle 

 admet. R considérée comme une fonction de t est intégrale d'une 

 équation différentielle algébrique d'ordre s à coefficients ration- 

 tionnels en t, en Xjv.-^n et leurs dérivées. Cette équation est une 

 transformée de l'équation linéaire f(x) — o. 



Pour obtenir cette transformée, M. Vessiot indique deux pro- 

 cédés, dont l'un rappelle l'emploi des fonctions symétriques, et 

 dont l'autre correspond à la méthode par élimination employée 

 dans la transformation des équations algébriques. Ce dernier 

 procédé permet de préciser la nature des intégrales de la trans- 

 formée en montrant que ces intégrales sont précisément toutes 

 les fonctions que l'on déduit de R en y remplaçant x lf x n par 

 n autres intégrales de l'équation linéaire donnée formant un sys- 

 tème fondamental. 



M. Vessiot est ainsi amené à s'occuper de l'expression des fonc- 

 tions rationnelles des intégrales (et de leurs dérivées) les unes au 

 moyen des autres. Il établit à ce sujet deux théorèmes dont voici 

 le premier : 



Si une fonction rationnelle des intégrales x iy ..., x n d'une équa- 

 tion linéaire d'ordre n n'admet aucune transformation linéaire 

 homogène én a^,..., x m ces intégrales s'expriment rationnellement 

 au moyen de cette fonction, des coefficients de l'équation, de leurs 

 dérivées et de la variable indépendante t. 



Telle est la fonction : 



V — u. x t 4- . . . 4- u x 

 où les u sont des fonctions indéterminées de t. Elle dépend d'une 



