﻿ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 709 



équation linéaire d'ordre n* qui est analogue à la résolvante de 

 Galois pour les équations algébriques. 



Voici maintenant le second théorème annoncé : 



Si la fonction rationnelle S^, x n ) admet toutes les transfor- 

 mations linéaires homogènes qui constituent le groupe delà fonc- 

 tion rationnelle R^, x n ), elle s'exprime rationnellement au 

 moyen de R, de 7^..., 7» n et de leurs dérivées par rapport à t. — 

 Cette proposition correspond au théorème deLagrangesûr les fonc- 

 tions rationnelles des racines d'une équation algébrique. 



De là se déduisent et l'existence du groupe de transformations 

 d'une équation linéaire donnée et les propriétés de ce groupe: 



A toute équation linéaire correspond un groupe Y de transforma- 

 tions homogènes qui jouit des deux propriétés suivantes : 



i° Toute fonction rationnelle des intégrales qui a une expression 

 rationnelle admet toutes les transformations de ce groupe ; 



2° Toute fonction rationnelle des intégrales, invariante par toutes 

 les transformations de ce groupe, a une expression rationnelle. 



Cette proposition capitale, qui est le pivot de la théorie de 

 M. Vessiot, est l'analogue du célèbre théorème de Galois. M. Picard 

 en avait déjà énoncé et démontré la première partie. 



Si le système fondamental d'intégrales n'est pas particularisé, 

 il y a une infinité de groupes F appartenant au même type, c'est- 

 à-dire se déduisant de l'un d'entre eux en effectuant dans les deux 

 membres des équations qui le définissent, la transformation li- 

 néaire homogène la plus générale. Les groupes à considérer sont 

 nécessairement algébriques. 



La détermination du groupe de transformations d'une équation 

 linéaire donnée de l'ordre n sera possible dès qu'on saura résou- 

 dre les trois problèmes suivants : 



io Déterminer les différents types de groupes linéaires homo- 

 gènes algébriques à n variables; 2° Calculer, pour chacun des 

 types trouvés, un invariant rationnel caractéristique, c'est-à-dire 

 qui n'admette pas un groupe plus grand, et forme la transformée 

 dont il dépend (la solution de ce deuxième problème ne dépend 

 que d'éliminationsalgébriques); 3° Reconnaître si une de ces trans- 

 formées a une intégrale rationnelle en t. Le type cherché sera, en 

 effet, le plus petit groupe correspondant à une transformée pos- 

 sédant une intégrale rationnelle en l. 



La considération du groupe Y est capitale, parce que l'intégra- 

 tion de l'équation donnée au moyen d'équations auxiliaires est 

 liée à la réduction progressive de ce groupe. Sans insister sur la 

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