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REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



définition de ces équations auxiliaires et le moyen de les obtenir, 

 signalons leur propriété principale: elle se trouve énoncée dans 

 le théorème suivant qui fournit la méthode générale d'intégration 

 des équations linéaires : 



Par l'interprétation de l'équation auxiliaire dont dépend une 

 fonction rationnelle R des intégrales de la proposée et des déri- 

 vées de ces intégrales, le groupe de transformations de l'équation 

 donnée se réduit à son plus grand sous-groupe invariant dont R 

 admette toutes les transformations. 



Il reste à étudier dans quelles circonstances l'intégration d'une 

 équation auxiliaire peut réduire le groupe de transformations 

 données. C'est ce que fait l'auteur dans le cas particulier où l'é- 

 quation auxiliaire est elle-même linéaire. 



Il est bon de remarquer que la méthode de réduction à laquelle 

 arrive M. Vessiotpar la voie qu ila suivie est la seule possible si 

 l'on s'astreint à n'employer comme équations auxiliaires que des 

 équations jouissant de propriétés caractéristiques. 



Elle donne la condition nécessaire et suffisante pour qu'une 

 équation linéaire soit intégrable par quadratures : 



Pour qiïune équation linéaire soit intégrable par quadratures , 

 il faut et il suffit que le groupe de transformations de cette équation 

 soit un groupe intégrable. (Un groupe de transformations composé 

 est dit intégrable s'il contient un sous-groupe invariant ayant un 

 paramètre de moins que lui, celui-ci de même, et ainsi de suite). 



De là résulte cette remarquable conséquence que V équation dif- 

 férentielle linéaire [d'ordre n^> 1) n'est pas en général intégrable 

 par quadratures. 



Lorsque exceptionnellement il en est ainsi, la dérivée logarith- 

 mique de l'une des intégrales s'exprime rationnellement. De cette 

 propriété l'auteur tire la condition nécessaire et suffisante pour 

 qu'une équation linéaire soit intégrable par quadratures. 



Troisième partie. — La troisième et dernière partie est consa- 

 crée aux applications. 



M. Vessiot commence par approfondir, autant qu'il est possible 

 de le faire en restant dans les généralités, le triple problème énoncé 

 • plus haut et qui se pose à propos de l'intégration d'une équation 

 linéaire. Il montre comment une des parties de ce problème est 

 simplifiée par la considération des groupes dualistiques. On sait que 

 M. Lie appelle ainsi deux groupes qui se déduisent l'un de l'autre 

 par la transformation de contact homogène, définie par la relation 



x x x\ \ x^x\ -f- .. . X n Xn -j- i = o. 



