﻿712 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



sont absolument convergentes dans tout l'espace à droite de la 

 parallèle à l'axe des y menée à la distance — 1. 



C'est de là que l'auteur déduit les développements suivants 

 pour l'intégrale eulérienne de première espèce et pour son inverse. 



( t ) r*(a?) _._ {a -r x)(a -\r x ^- i) ... {a -f x -f m ) 



V[a -f- x) ~~~ a(a -f- 1) ... (a -j- m) 



k=zœ 



(a -J- ix -j- m) sin [a -j- a?) ~ ( a -j- m \ sin (2k — a — »i)ô 



sin (a 4- 22' -[- m ) 6 sm #~ ^ 1 * / (A; + a?) (A — a — a? — ml 

 F (a + x) a{a -\- \) ... (a 4- m) 



F (a) F (œ) (a r '(<* + * + 1 ) •■• (« + # -f- m) 



x[x — a — m) sin tzx sin a- ^ /a-}-#-{-wî\ sin — a — — m)% 



/ Cl -j— X -J- 7/t \ S1I1 ^ 2 /i — a — x — 



Tusin(a-f- x)r^m{x — a — m)ô ^ \ & / (A — a?) (A; — a — m) 



Ces développements convergent pour les valeurs de 8 comprises 



entre et -: le nombre m est un entier indéterminé, mais tel 



2 2 



cependant que dans la seconde formule a-\-x-\-m représente l'af- 

 fixe d'un point situé à droite de la parallèle à l'axe des y menée à 

 la distance — 1, et que dans la première a -f m ait sa partie réelle 

 supérieure à — 1. 



M. Beaupain fait connaître d'autres développements analogues 

 1 



des fonctions B(a, x) et — -, qui conduisent à des expressions 



B{a,x) 



plus ou moins intéressantes de ces fonctions lorsqu'on y parties 

 larise d'une manière convenable la valeur de 6. 



Il en tire divers modes des développements des fonctions 



xcos(2a? — m)6 tu sin (2a? — ?w)9 



: — , : , où m est un nombre entier. 



sin 7ix sin tu# 



11 montre en terminant comment la formule (2) peut servir à 



sommer à l'aide de symboles élémentaires une infinité de séries. 



Si en effet on pose a.— a -j- x~ a — i$, m = o, la formule en 



question devient 



r(aa) _ + sin Tu(a -j- ig) sin T:(a — i$) 



F(a + F(a — i$) ~ ' 2«tu sin 2*tu sin 2z£t) X 



k — œ 



