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REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



où les termes du second degré forment un carré parfait constituent 

 une classe distincte, indépendante des changements de la fonction 

 et des variables. 

 Puis il y a l'invariant 



a b d 

 J=z b r, e 

 d e f 



La condition J zz o est encore indépendante d'un changement 

 de variables et de fonctions. Il y a donc une seconde classe d'équa- 

 tions qui ont la propriété invariante de se décomposer en deux 

 équations linéaires. 



Une troisième classe est constituée par les équations qu'on ren- 

 contre dans la recherche des lignes géodésiques et qui n'ont pas 

 de termes du premier degré en p et q. 



Laissant de côté toutes ces classes particulières, l'auteur se 

 propose ensuite de simplifier l'équation générale. On peut profiter 

 des deux fonctions arbitraires qui entrent dans le changement de 

 variables pour faire disparaître les coefficients des termes carrés 

 par rapport aux dérivées partielles. Si l'on sait intégrer les deux 

 équations linéaires 



c 9 



+ (b — \/b* — ac)p = o, 



cq-\- (b + y b* — ac)p zz o, 



on prendra pour $ une solution de la première, pour "*P une solu- 

 tion de la seconde, et l'équation (i) se trouvera ramenée, par le 

 changement de variables 



X = *(*,>/), Y = T(x,y), 



à la forme 



(2) ^P^ + 20^ + 2E 1 Q 1 + F, = o 



Si maintenant on effectue sur l'équation (2) le changement de 

 fonction 



zzzZ t-T 



et qu'on détermine T par la condition 



ÔT__E 1 

 ÔX~~ B,' 



l'équation transformée prend la forme canonique. 



(3) PQ = MP + N. 



