﻿ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 715 



M. Elliot démontre l'invariabilité de cette réduction par rapport 

 à un changement quelconque de variables et de fonction 



œ' — (D(x,y), y'=zty(x,y), z = z'-{-t 



auquel on aurait d'abord soumis l'équation proposée (1). Le ré- 

 sultat de cette opération préalable n'a aucune influence sur les 

 coefficients de l'équation canonique correspondante. 



La réduction à la forme canonique est impossible-dans le cas 

 spécial où b % — ac est nul, mais elle peut encore se faire quand 

 l'équation appartient à la catégorie des équations géodésiques. 



Voici maintenant comment ce mode de réduction peut être ap- 

 pliqué à la recherche de certains cas d'intégrabilité. 



Étant donnée une fonction z de x et y définie par une équation 

 telle que : 



(4) F (x,y,z, C)~ q., 



qui contient une constante C, si l'on forme les équations qui four- 

 nissent les valeurs des dérivées premières, on aura un système de 

 trois équations entre lesquelles on pourra éliminer z et G. Le ré- 

 sultat de l'élimination n'est pas altéré si l'on remplace zparz +C n 

 en désignant par C, une nouvelle constante. L'équation 



¥(x, y, z + C„ G) = o 



définira donc une intégrale complète de l'équation aux dérivées 

 partielles obtenue par l'élimination. Quel que soit le degré de l'é- 

 quation obtenue, ce degré n'est pas altéré par un changement 

 quelconque de variables et par un changement de fonction tel 

 que z z= z x -\- t- 



M. Elliot indique quelques équations telles que (4) qui donnent 

 naissance à des équations aux dérivées partielles et pour lesquel- 

 les on connaîtra par conséquent une intégrale complète. 



L'un des exemples qu'il indique l'amène à s'occuper du sys- 

 tème 



ÔX ÔX ÔX 



X i a P ± V 



a ôx + 3 ô7 +ï ô7 =0 ' 



ÔX ÔY ÔY 



