﻿ANALYSES ET ANNONCES. - MATHEMATIQUES 717 



termes ont des degrés égaux au plus àp pour le numérateur, à q 

 pour le dénominateur, p et g étant deux nombres, égaux ou iné- 



u 



gaux, pris dans la suite o, i, 2, 3..., il y en a une - qui fournit 



une approximation dont l'ordre est supérieur à celui de l'approxi- 

 mation fournie par une quelconque des autres fractions. 



Ce théorème correspond à cette proposition bien connue dans 

 la théorie des polynômes: Il y a un polynôme de degré n au plus, 

 et un seul, qui dans le voisinage de la valeur zéro de la variable, 

 puisse représenter une fonction avec une erreur infiniment petite 

 d'ordre au moins égal àn-f 1 . 



Le second théorème établi par M. Padé serait assez difficile à 

 énoncer si l'on ne faisait intervenir la disposition du tableau dont 

 il a été question; bornons-nous à dire qu'il correspond à cette 

 autre proposition de la théorie des polynômes : Les approxima- 

 tions obtenues avec les polynômes approchés qui correspondent à 

 des valeurs croissantes du degré n ne sauraient diminuer; elles 

 conservent la même valeur ou bien elles vont en croissant. 



Dans la deuxième partie l'auteur étudie les rapports qui existent 

 entre la théorie de l'approximation par les fractions rationnelles 

 et la théorie des fractions continues. Ces rapports ont été pour la 

 première fois remarqués par Lagrange. Euler, Lagrange, Gauss 

 ont donné les premiers exemples de représentation d'une fonction 

 par les fractions continués. Tous les développements auxquels on 

 a eu affaire jusqu'ici se ramènent (si l'on fait abstraction des irré- 

 gularités du début) aux quatre formes différentes que voici : 



ax 



Jb 1 -j- ax -j- ; £B = 



i-h&H — *+- 



1 + CX -j ; 1 -}- 



1+.., 



(î-t + ax t - — P5ÎF=H 



1 -4- bx -j — 



vx 2 1 yx 



1 + ... 1 + ... 



a, [3, y,..., a x b, c... désignant des constantes. 



Sont-ce là les seules formes qu'il y ait lieu de considérer et pour 

 une fonction quelconque peuvent-elles toutes quatre être obte- 

 nues? Four une fonction donnée combien y a-t-il de fractions ayant 

 une forme donnée? Telles sont les questions que se pose M. Padé. 



