﻿ANALYSES ET ANNONCES. — 



MATHÉMATIQUES 



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Premières leçons d'algèbre élémentaire, par M. Padé. (i vol. 

 in-8°, 1892, chez Gauthier-Villars et fils.) 



Introduction. — Les éléments sur lesquels se développent tout d'a- 

 bord les théories de l'arithmétique sont les nombres entiers. Ils cons- 

 tituent le premier ensemble qui soit l'objet de nos spéculations ma- 

 thématiques; nous pouvons l'appeler ensemble du premier ordre. 



Mais déjà, dès la théorie de la division, on se trouve amené à étendre 

 cet ensemble, à adjoindre aux nombres entiers toute une nouvelle ca- 

 tégorie de nombres, les nombres fractionnaires; on obtient ainsi l'en- 

 semble des nombres rationnels. C'est l'ensemble du second ordre, 

 dont l'ensemble du premier ordre, celui des nombres entiers, ne cons- 

 titue qu'une partie. 



Cet ensemble du second ordre devient de nouveau insuffisant, dès 

 que l'on aborde l'extraction des racines, et l'on doit alors procéder à 

 une nouvelle extension, adjoindre aux éléments déjà introduits une 

 nouvelle catégorie de nombres, les nombres irrationnels ou incom- 

 mensurables. Ainsi s'obtient l'ensemble du troisième ordre, celui des 

 nombres rationnels et irrationnels, qui embrasse celui du second ordre 

 et par suite celui du premier. 



L'étude de ces trois premiers ensembles constitue ce que l'on a cou- 

 tume d'appeler proprement Y arithmétique. 



Et cependant on peut aller plus loin et faire voir comment l'en- 

 semble du troisième ordre devient lui aussi insuffisant, comment on 

 est amené à adjoindre à ses éléments toute une nouvelle catégorie de 

 nombres, les nombres négatifs; par cette annexe s'obtient l'ensemble 

 du quatrième ordre, celui des nombres positifs et négatifs*, c'est le 

 premier de ceux dont l'étude constitue, à proprement parler, Yalgè- 

 bre, qui apparaît bien ainsi comme l'arithmétique généralisée, l'a- 

 rithmétique universelle de Newton. 



Cette nécessité d'introduire les nombres négatifs se rencontre lors- 

 que l'on cherche à résoudre les problèmes les plus simples de l'arith- 

 métique en les mettant en équations; on s'aperçoit vite qu'en se 

 bornant au seul ensemble des nombres rationnels et irrationnels, on 

 est dans l'impossibilité d'arriver à des règles générales pour résoudre 

 ces équations; on reconnaît en même temps quelle est la nature des 

 nouveaux éléments qu'il faut introduire pour vaincre cette difficulté, 

 et comment on devra alors modifier les définitions des opérations 

 fondamentales. 



Avec l'introduction des nombres négatifs ne se clôt pas la suite des 

 généralisations; la même question qui la nécessite conduit, en effet, à 



